4 固有値

小節3.1,3.2,3.3での 固有値問題を数値計算し，固有振動数$\omega$を得た． このとき， 離散化された固有値問題(式(12)と式(24))を， それぞれ線形代数パッケージIMSLを用いてQR法で解いた． 展開項数$N$は今回の計算では$N=40$で打ち切っている． これは$N=90$の結果と5桁まで一致したこと， 計算時間が$N$の増加とともに極端に長くなることから， $N=40$で十分と判断した． 接触線を固定した時の固有振動数$\omega$を数値計算で求めた結果を 表2に示す． 対応する全球の場合の次数$n$と周回方向の波数$m$で整理する (速度ポテンシャルの展開の主たる項が $P_n^m(\cos\theta)$となる)．

表 2: 様々な周方向波数$m$についての固有振動数$\omega$． 接触線を固定した場合の固有振動数($\omega$)と，全球の場合の固有振動数$\omega _n$.

厳密解(全球)		数値解
次数$n$	$\omega _n$	$m=0$	$m=1$	$m=2$	$m=3$	$m = 4$
1	0		2.220
2	2.828	4.415		4.854
3	5.477		7.449		7.864
4	8.485	10.564		10.819		11.215
5	11.832		14.206		14.497
6	15.491	17.99		18.164		18.461
7	19.422		22.180		22.399
8	23.664	26.524		26.654		26.875
9	28.142		31.198		31.373

接触線を固定すると固有振動数が増加する． 計算結果では， 異なる$m$について異なった固有振動数が存在し， また接触線が滑る場合では角振動数が0(ゼロ)である$n=1$のモードが出現した． 接触線を固定したために周方向波数$m$についての縮退が解けたことになる． 各固有振動モードで$(m+n)$が偶数で，かつ$m\le n$である．

この数値的結果を 実験での共鳴角振動数に良く対応する(図5)． 実際，水の液滴に非軸対称振動を加えた場合， 塩酸と水酸化ナトリウム水溶液の混合溶液の液滴に 軸対称・非軸対称振動を加えた場合の両者で， 5%以内の誤差で一致していることが確認された．

図 5: 固有振動数の比較. 点:実験値,曲線:計算値. ${\rm H_2O}$:水に非軸対称振動を加えたもの, ${\rm HCl}$: 塩酸と水酸化ナトリウム水溶液の混合溶液に軸対称， 非軸対称振動を加えたもの．