4.1.1 摂動方程式

式(4),(8)の各変数を基本場($ \bar{\,}\,$)と摂動($ \,'\,$)に分け、両式を線形化すると次の摂動方程式が得られる。
$\displaystyle \frac{\partial \mbox{\boldmath$\omega $}'}{\partial t}=\nabla \ti...
...z}+Ra\,(\nabla \times \mbox{\boldmath$b$}')+\nabla ^2\mbox{\boldmath$\omega $}'$ (10)
$\displaystyle \frac{\partial b'}{\partial t}+\overline{u}\frac{\partial b'}{\pa...
...rtial b'}{\partial z}+w'\frac{\partial \overline{b}}{\partial z}=w'+\nabla ^2b'$ (11)

ただし、基本場は定常かつ$ y$方向に一様なので、基本場成分の時間微分・$ y$微分は0となる。

次に、摂動が$ y$方向に周期的であると仮定すると以下のように書ける。

$\displaystyle \omega _1'={\rm Re}\,\{\,\hat{\omega }_1(x,z)\,e^{i(r_ymy-\sigma t)}\,\}$   $\displaystyle u'={\rm Re}\,\{\,\hat{u}(x,z)\,e^{i(r_ymy-\sigma t)}\,\}$  
$\displaystyle \omega _2'={\rm Re}\,\{\,\hat{\omega }_2(x,z)\,e^{i(r_ymy-\sigma t)}\,\}$   $\displaystyle v'={\rm Re}\,\{\,\hat{v}(x,z)\,e^{i(r_ymy-\sigma t)}\,\}$  
$\displaystyle \omega _3'={\rm Re}\,\{\,\hat{\omega }_3(x,z)\,e^{i(r_ymy-\sigma t)}\,\}$   $\displaystyle w'={\rm Re}\,\{\,\hat{w}(x,z)\,e^{i(r_ymy-\sigma t)}\,\}$  
$\displaystyle b'={\rm Re}\,\{\,\hat{b}(x,z)\,e^{i(r_ymy-\sigma t)}\,\}\,\,\,\,$     (12)

ただし、$ \hat{\omega }_1$,$ \hat{\omega }_2$,$ \hat{\omega }_3$,$ \hat{b}$,$ \hat{u}$,$ \hat{v}$,$ \hat{w}$,$ \sigma $は全て複素数とする。$ m$$ y$方向の波数、$ r_y=2\pi /L_y$である。
    以下の関係式を用いると、$ \hat{\omega }_1$,$ \hat{\omega }_3$から$ \hat{\omega }_2$,$ \hat{u}$,$ \hat{v}$,$ \hat{w}$が求まるので、$ \hat{\omega }_1$,$ \hat{\omega }_3$,$ \hat{b}$の3つを独立な変数とする。
$\displaystyle \nabla \cdot$$\displaystyle \mbox{\boldmath$\omega $}$$\displaystyle '=0$ $\displaystyle \Rightarrow$ $\displaystyle \frac{\partial \hat{\omega }_1}{\partial x}+ir_ym\,\hat{\omega }_2+\frac{\partial \hat{\omega }_3}{\partial z}=0$ (13)
$\displaystyle -\nabla ^2$$\displaystyle \mbox{\boldmath$u$}$$\displaystyle '=\nabla \times$$\displaystyle \mbox{\boldmath$\omega $}$$\displaystyle '$ $\displaystyle \Rightarrow$ \begin{displaymath}\left\{
\begin{array}{l}
-\left(\frac{\displaystyle{\partial ...
...laystyle{\partial x}}-ir_ym\,\hat{\omega }_1
\end{array}\right.\end{displaymath} (14)

以上より、式(10)の$ x$,$ z$成分と式(11)を計算すると次のようになる。
$\displaystyle \sigma \,\hat{\omega }_1\,=\,\left\{r_ym\overline{v}-i\left(r_y^2...
...{u}}{\partial z}+\overline{u}\frac{\partial }{\partial z}\right)\hat{\omega }_3$  
$\displaystyle \quad \quad +\left\{r_ym\overline{\zeta }+i\frac{\partial ^2\over...
...e{v}}{\partial z}\,\frac{\partial }{\partial z}\right)\hat{w}-r_ym\,Ra\,\hat{b}$ (15)
$\displaystyle \quad$  
$\displaystyle \sigma \,\hat{\omega }_3\,=\,\left\{r_ym\overline{v}-i\left(r_y^2...
...{w}}{\partial x}+\overline{w}\frac{\partial }{\partial x}\right)\hat{\omega }_1$  
$\displaystyle \quad \quad +\left\{r_ym\overline{\zeta }-i\frac{\partial ^2\over...
...{\partial \overline{v}}{\partial x}\,\frac{\partial }{\partial x}\right)\hat{u}$ (16)
$\displaystyle \quad$  
$\displaystyle \,\sigma \,\hat{b}\,=\,\left(r_ym\overline{v}-ir_y^2m^2-i\overlin...
...ial x}\,\hat{u}+i\left(1-\frac{\partial \overline{b}}{\partial z}\right)\hat{w}$             (17)

式(15)〜(17)に対して固有値解析を行う。計算方法の詳細はAppendixで述べる。

SAITO Naoaki
2008-03-07