A.1 渦度について

渦度の定義より

$$\nabla \cdot \mbox{\boldmath$\omega $} =\nabla \cdot (\nabla \times \mbox{\boldmath$v$} )=0$$ (34)

展開係数で表すと、

$$\nabla \cdot \mbox{\boldmath$\omega $} = \frac{\partial \omega _1}{\partial x}+\frac{\partial \omega _2}{\partial y}+\frac{\partial \omega _3}{\partial z}$$

$$= \sum^{L}_{l=-L}\sum^{M}_{m=-M}\sum^{N}_{n=1}(ir_xl\,\hat{\omega }... ..._ym\,\hat{\omega }_2-r_zn\,\hat{\omega }_3)\,e^{i\,(r_xlx+r_ymy)}\sin \,(r_znz)$$ (35)

よって、$l=-L,\ldots ,L$,$m=-M,\ldots ,M$,$n=1,\ldots ,N$について

$$ir_xl\,\hat{\omega }_1\,(l,m,n)+ir_ym\,\hat{\omega }_2(l,m,n)-r_zn\,\hat{\omega }_3(l,m,n)=0$$ (36)

$\hat{\omega }_1\,(l,m,0)=\hat{\omega }_2\,(l,m,0)=0$と定義すると、$n=0$でも成り立つ。

以上より、$n$$\geq$$1$では$\hat{\omega }_1$,$\hat{\omega }_2$について時間発展を計算し、次式で$\hat{\omega }_3$を求める。

$$\hat{\omega }_3=\frac{i\,(r_xl\,\hat{\omega }_1+r_ym\,\hat{\omega }_2)}{r_zn}$$ (37)

$n=0$では$\hat{\omega }_1=\hat{\omega }_2=0$なので、$\hat{\omega }_3$だけを計算する。