C エネルギー解析

系の運動エネルギーを順圧平均流成分$E_{bz}\,$($m=0,n=0$)・順圧渦成分$E_{bw}\,$($m\neq 0,n=0$)・傾圧成分$E_{c}\,$($n\geq 1$)に分けて解析する。ここで順圧成分とは鉛直方向の波数0の成分として定義する。

系全体で平均した運動エネルギーを考えるため、次の記号を定める。

$$\langle \quad \rangle =\frac{1}{L_xL_y\,d}\!\int _0^{L_x}\!\!dx\int _0^{L_y}\!\!dy\int _0^{d}\!\!dz$$ (49)

$u$について

$$\langle u^2\rangle = \frac{1}{L_xL_y\,d}\!\int _0^{L_x}\!\!dx\int _0^{L_y}\!\!dy\int _... ...}\!\!dz\left\{\sum_{l,m,n}\hat{u}_{lmn}e^{i\,(r_xlx+r_ymy)}\cos (r_znz)\right\}$$

$$\qquad \qquad \qquad \qquad \qquad \times \left\{\sum_{l',m',n'}\hat{u}_{(-l')(-m')n'}e^{-i\,(r_xl'x+r_ym'y)}\cos (r_zn'z)\right\}$$

$$= \sum _l\sum _m\left\{\hat{u}_{lm0}\,\hat{u}_{(-l)(-m)0}+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{N}\hat{u}_{lmn}\,\hat{u}_{(-l)(-m)n}\right\}$$

$$= \sum _l\sum _m\left\{\vert\hat{u}_{lm0}\vert^2+\frac{1}{2}\sum _{n=1}^{N}\vert\hat{u}_{lmn}\vert^2\right\}$$ (50)

同様にすると

$$\left\langle \frac{1}{2}(u^2+v^2+w^2)\right\rangle =\frac{1}{2}\s... ...{lmn}\vert^2+\vert\hat{v}_{lmn}\vert^2+\vert\hat{w}_{lmn}\vert^2\right)\right\}$$ (51)

よって運動エネルギーの各成分は以下のようになる。

$$E_{bz} = \frac{1}{2}\sum _{l=-L}^{L}\left(\vert\hat{u}_{l00}\vert^2+\vert\hat{v}_{l00}\vert^2\right)$$ (52)

$$E_{bw} = \frac{1}{2}\sum _{l=-L}^{L}\,\,\,\,\sum _{\hspace{-0.6em}\raisebo... ...q 0}$}}^{M}\,\,\left(\vert\hat{u}_{lm0}\vert^2+\vert\hat{v}_{lm0}\vert^2\right)$$ (53)

$$E_{c} = \frac{1}{4}\sum _{l=-L}^{L}\sum _{m=-M}^{M}\sum _{n=1}^{N}\left(\... ...\hat{u}_{lmn}\vert^2+\vert\hat{v}_{lmn}\vert^2+\vert\hat{w}_{lmn}\vert^2\right)$$ (54)