E 順圧不安定

基本流$ v_B(x)=v_0\cos (l_0x)$が、$ y$方向の波数$ m\geq l_0$の擾乱に対して安定であることを証明する。なお、この章では証明を見易くするため、波数を$ r_xl\to l\,,\,r_ym\to m\,$と置き換えている。また、粘性の影響を明確にするため、動粘性係数$ \nu $(本研究では1)を表示している。

順圧成分について考えるので、基礎方程式の(1),(2),(5)において$ z$微分を0とすると

$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{\partial p}{\partial x}+fv+\nu \,\nabla ^2_hu$ (57)
$\displaystyle \frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y}$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{\partial p}{\partial y}-fu+\nu \,\nabla ^2_h(v-v_B)$ (58)
$\displaystyle \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}$ $\displaystyle =$ 0 (59)

ただし、
$\displaystyle \nabla ^2_h=\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}$  

ここで、流線関数$ \psi $を次のように定義する。
$\displaystyle u=-\frac{\partial \psi}{\partial y}\qquad v=\frac{\partial \psi}{\partial x}$ (60)

また、渦度$ \zeta $を次で定義する。
$\displaystyle \zeta =\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=\nabla ^2_h\psi$ (61)

式(57),(58)より、渦度方程式は
$\displaystyle \frac{\partial \zeta }{\partial t}+u\frac{\partial \zeta }{\parti...
...right)=\nu \,\nabla ^2_h\zeta -\nu \,\nabla ^2_h\frac{\partial v_B}{\partial x}$  

式(59),(61)を用いて$ \psi $のみで表すと次のようになる。
$\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}\nabla ^2_h\psi +\left(\frac{\partial...
...,\nabla ^2_h(\nabla ^2_h\psi )-\nu \,\nabla ^2_h\frac{\partial v_B}{\partial x}$ (62)

渦度方程式(62)は次の$ \overline{\psi }(x)$を定常解として持つ。
$\displaystyle \overline{\psi }(x)=\!\int \!v_B(x)\,dx=\frac{v_0}{l_0}\sin (l_0x)$ (63)

この基本流$ \overline{\psi }(x)$に摂動$ \psi '(x,y,t)$を与えた場合、摂動方程式は線形化して次のようになる。
$\displaystyle \left(\frac{\partial }{\partial t}-\nu \,\nabla ^2_h\right)\nabla...
...la ^2_h\overline{\psi }}{\partial x}\frac{\partial \psi '}{\partial y}\right)=0$ (64)

ここで、領域積分の記号を次で定める。

$\displaystyle \langle \quad \rangle =\frac{1}{4\pi ^2}\int _0^{2\pi }\!\!dx\int _0^{2\pi }\!\!dy$  

式(64)の両辺に$ \psi '$を掛けて領域積分し、部分積分を行うと擾乱のエネルギー$ E$に関する次式を得る。
$\displaystyle \frac{d}{dt}E$ $\displaystyle \equiv$ $\displaystyle -\frac{d}{dt}\,\frac{1}{2}\langle \psi '\,\nabla ^2_h\psi '\rangle$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{2}\left(\left\langle \frac{\partial \psi '}{\partial t}...
...ngle \psi '\,\frac{\partial \nabla ^2_h\psi '}{\partial t}\right\rangle \right)$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\left\langle \psi '\,\frac{\partial \nabla ^2_h\psi '}{\partial t}\right\rangle$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\langle \frac{\partial \overline{\psi }}{\partial x}\,\psi '...
...al y}\right\rangle -\nu \,\langle \psi '\,\nabla ^2_h(\nabla ^2_h\psi ')\rangle$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\langle \frac{\partial \overline{\psi }}{\partial x}\,\psi '...
...al y}\right\rangle -\nu \,\langle \psi '\,\nabla ^2_h(\nabla ^2_h\psi ')\rangle$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\langle \frac{\partial \overline{\psi }}{\partial x}\,\psi '...
...2_h\psi '}{\partial y} \right\rangle-\nu \,\langle (\nabla ^2_h\psi ')^2\rangle$ (65)

また、式(64)の両辺に$ \nabla ^2_h\psi '$を掛けて同様の操作を行うと擾乱のエンストロフィー$ Q$に関する次式を得る。
$\displaystyle \frac{d}{dt}Q$ $\displaystyle \equiv$ $\displaystyle \frac{d}{dt}\,\frac{1}{2}\langle (\nabla ^2_h\psi ')^2\rangle$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \left\langle \nabla ^2_h\psi '\,\frac{\partial \nabla ^2_h\psi '}{\partial t}\right\rangle$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\left\langle \frac{\partial \overline{\psi }}{\partial x}\,\nabl...
...\rangle +\nu \,\langle \nabla ^2_h\psi '\,\nabla ^2_h(\nabla ^2_h\psi ')\rangle$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\left\langle \frac{\partial \overline{\psi }}{\partial x}\,\frac...
...\rangle +\nu \,\langle \nabla ^2_h\psi '\,\nabla ^2_h(\nabla ^2_h\psi ')\rangle$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\left\langle \frac{\partial \nabla ^2_h\overline{\psi }}{\partia...
...\rangle +\nu \,\langle \nabla ^2_h\psi '\,\nabla ^2_h(\nabla ^2_h\psi ')\rangle$ (66)

ここで(63)より
$\displaystyle \nabla ^2_h\overline{\psi }=-l_0\,\!\!^2\,\overline{\psi }$ (67)

よって、次の関係が得られる。
$\displaystyle \frac{d}{dt}Q-l_0\,\!\!^2\,\frac{d}{dt}E=\nu \,\langle \nabla ^2_...
...bla ^2_h\psi ')\rangle +\nu \,l_0\,\!\!^2\,\langle (\nabla ^2_h\psi ')^2\rangle$ (68)

ここで$ \psi '$$ y$方向の波数$ m\,(>0)$の摂動としてスペクトル展開する。

$\displaystyle \psi '(x,y,t)=\sum_{l=-L}^{L}\left\{\hat{\psi }\,_{lm}(t)\,e^{i\,(lx+my)}+\hat{\psi }\,_{l(-m)}(t)\,e^{i\,(lx-my)}\right\}$ (69)

すると、$ E$は次のように書ける。
$\displaystyle E$ $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{2}\langle \psi '\nabla _h^2\psi '\rangle$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle -\frac{1}{2}\,\frac{1}{4\pi ^2}\int_0^{2\pi }\!\!dx\int_0^{2\pi }...
...m}(t)\,e^{i\,(lx+my)}+\hat{\psi }\,_{l\,(-m)}(t)\,e^{i\,(lx-my)}\right\}\right]$  
    $\displaystyle \hspace{2em} \times \left[\,\sum_{l'=-L}^{L}\{-(l')^2-m^2\}\left\...
...m}\,e^{i\,(-l'x+my)}+\hat{\psi }\,_{(-l')(-m)}\,e^{i\,(-l'x-my)}\right\}\right]$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \frac{1}{2}\sum_{l=-L}^{L}\!(\,l^2+m^2)\,\left\{\vert\hat{\psi }_{lm}\vert^2+\vert\hat{\psi }_{l\,(-m)}\vert^2\right\}$  
  $\displaystyle =$ $\displaystyle \sum_{l=-L}^{L}\!(\,l^2+m^2)\,\vert\hat{\psi }_{lm}(t)\vert^2$ (70)

同様にして$ Q$や(68)の右辺第1項は次のようになる。
$\displaystyle Q\,=\,\frac{1}{2}\langle (\nabla _h^2\psi ')^2\rangle \,=\,\sum_{l=-L}^{L}\!(\,l^2+m^2)^2\,\vert\hat{\psi }_{lm}(t)\vert^2$ (71)
$\displaystyle \nu \,\langle \nabla ^2_h\psi '\,\nabla ^2_h(\nabla ^2_h\psi ')\rangle =-2\,\nu \!\sum_{l=-L}^{L}\!(\,l^2+m^2)^3\,\vert\hat{\psi }_{lm}(t)\vert^2$ (72)

(70),(71),(72)を(68)に代入し、さらに
$\displaystyle E_{lm}(t)\equiv (\,l^2+m^2)\,\vert\hat{\psi }_{lm}(t)\vert^2$ (73)

を導入すると、次の式が得られる。
$\displaystyle \sum_{l=-L}^{L}[\,(\,l^2+m^2)\,-l_0\,\!\!^2\,]\frac{d}{dt}E_{lm}(...
...2\,\nu \!\!\sum_{l=-L}^{L}[\,(\,l^2+m^2)^2-l_0\,\!\!^2(\,l^2+m^2)\,\,]E_{lm}(t)$ (74)

さて、基本流が線形不安定であるとき、(64)は発達する固有モードを持つ。その発達率$ \sigma \,(>0)$を用いて、$ E_{lm}(t)$の時間変化は

$\displaystyle E_{lm}(t)=e^{2\sigma t}E_{lm}(0)$ (75)

と表せる。(75)を(74)に代入すれば、
$\displaystyle \sum_{l=-L}^{L}(\,l^2+m^2-l_0\,\!\!^2)\,\{\sigma +\nu \,(l^2+m^2)\}\,E_{lm}(0)=0$ (76)

を得る。したがって、擾乱が発達するための必要条件は、「$ {\displaystyle \sum_{l=-L}^{L}\!E_{lm}(0)>0}$かつ% latex2html id marker 5596
$ (\ref{a55})$が成立」となる。
i) $ m>l_0$の擾乱
$ l^2+m^2-l_0\,\!\!^2>l^2+l_0\,\!\!^2-l_0\,\!\!^2\geq 0$より、(76)の$ E_{lm}(0)$の係数は全ての$ l$について正である。したがって、$ E_{lm}(0)$は全て0になり、擾乱は発達しない。

ii) $ m=l_0$の擾乱
$ E_{0m}(0)>0$,$ \,E_{lm}(0)=0\,\,(l\neq 0)$の場合にのみ必要条件が満たされる。これは初期擾乱が$ \psi _{0m}$モード単独であることを意味しているが、このとき(64)は左辺第2項の括弧内が0となり、
$\displaystyle \left(\frac{\partial }{\partial t}-\nu \,\nabla ^2_h\right)\nabla ^2_h\psi '=0$  

のように拡散方程式の形になるため、擾乱は発達しない。
i),ii)より、基本流$ v_B=v_0\cos \,(l_0x)$$ y$方向の波数$ m\geq l_0$の擾乱に対して安定である。     

この結果より、基本流$ v_B=v_0\cos(x)$$ y$方向の波数$ m\geq 1$の擾乱に対して安定である。波数の表記を元に戻すと、基本流$ v_B=Re\,L_x\cos(r_xx)$$ r_ym\geq r_x$の擾乱に対して安定である。本研究では$ L_x=L_y\,(=10)$なので$ r_x=r_y$より、$ y$方向の波数$ m\geq 1$の擾乱に対して安定となる。

SAITO Naoaki
2008-03-07