A.3.4 ガウス-ルジャンドル積分公式

格子点上の値からスペクトル値に正変換する際には、ガウス-ルジャンドル積分公式を用いて計算する。

$ f(\mu )$$ 2n-1$次以下の多項式のとき、

$\displaystyle \frac{1}{2}\int_{-1}^1f(\mu )\,d\mu =\sum_{k=1}^nw_k\,f(\mu _k)$  

ここで、$ \mu _k\,(k=1,\,2,\,\cdots \,n)\,$$ P_n(\mu )$$ n$個の零点(ガウスノード)で、$ -1<\mu _1<\mu _2<\cdots <\mu _n<1$である。$ w_k$は次のように書かれ、ガウス重みと呼ばれる。

$\displaystyle w_k=\int_{-1}^1\frac{P_n(\mu )}{(\mu -\mu _k)P_n'(\mu _k)}d\mu =\frac{2\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}{nP_{n-1}(\mu _k)P_n'(\mu _k)}$  

※非周期の場合、積分のための分点は非等間隔であり、境界に密集する。

SAITO Naoaki
2009-07-09