A.4.1 各変数のスペクトル級数展開

速度$(u,v,w)$,浮力$b$,渦度$(\omega _1,\omega _2,\omega _3)$を以下のように展開する。$u,\,v,\,\omega _3$は$z$微分と順圧成分を展開する。

$$\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{\partial u}{\pa... ...m=-M}\hat{u}_0\,(l,m)\,e^{i\,(r_xlx+r_ymy)}} \end{array}\right.$$ (44)

$$\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{\partial v}{\pa... ...m=-M}\hat{v}_0\,(l,m)\,e^{i\,(r_xlx+r_ymy)}} \end{array}\right.$$ (45)

$$w\,(x,y,z) = \sum^{L}_{l=-L}\sum^{M}_{m=-M}\sum^{N}_{p=1}\hat{w}\,(l,m,p)\,e^{i\,(r_xlx+r_ymy)}\eta _p(z)$$ (46)

$$b\,(x,y,z) = \sum^{L}_{l=-L}\sum^{M}_{m=-M}\sum^{N}_{p=1}\hat{b}\,(l,m,p)\,e^{i\,(r_xlx+r_ymy)}\eta _p(z)$$ (47)

$$\omega _1\,(x,y,z) = \sum^{L}_{l=-L}\sum^{M}_{m=-M}\sum^{N}_{p=1}\hat{\omega }_1\,(l,m,p)\,e^{i\,(r_xlx+r_ymy)}\eta _p(z)$$ (48)

$$\omega _2\,(x,y,z) = \sum^{L}_{l=-L}\sum^{M}_{m=-M}\sum^{N}_{p=1}\hat{\omega }_2\,(l,m,p)\,e^{i\,(r_xlx+r_ymy)}\eta _p(z)$$ (49)

$$\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\frac{\partial \omega... ...{\omega }_{30}\,(l,m)\,e^{i\,(r_xlx+r_ymy)}} \end{array}\right.$$ (50)

ここで

$$r_x=\frac{2\pi }{L_x}\,,\quad r_y=\frac{2\pi }{L_y}\,,\quad r_z=\frac{\pi }{d}$$ (51)

$u$,$v$,$w$,$b$,$\omega _1$,$\omega _2$,$\omega _3$は全て実数なので、対応する展開係数について以下の条件がつく。

$$\hat{u'}\,(-l,-m,n)=\hat{u'}^{*}(l,m,n)$$ (52)

ただし$\hat{u'}^{*}$は$\hat{u'}$の複素共役である。$\hat{u}_0$,$\hat{v'}$,$\hat{v}_0$,$\hat{w}$,$\hat{b}$,$\hat{\omega }_1$,$\hat{\omega }_2$,$\hat{\omega }_3'$,$\hat{\omega }_{30}$についても同様。