A 各変数のスペクトル級数展開

速度$(u,v,w)$,浮力$b$,渦度$(\omega _1,\omega _2,\omega _3)$について、境界条件を考慮して以下のように展開する。

$$u\,(x,y,z) = \sum^{L}_{l=-L}\sum^{M}_{m=-M}\sum^{N}_{n=0}\hat{u}\,(l,m,n)\,e^{i\,(r_xlx+r_ymy)}\cos \,(r_znz)$$ (25)

$$v\,(x,y,z) = \sum^{L}_{l=-L}\sum^{M}_{m=-M}\sum^{N}_{n=0}\hat{v}\,(l,m,n)\,e^{i\,(r_xlx+r_ymy)}\cos \,(r_znz)$$ (26)

$$w\,(x,y,z) = \sum^{L}_{l=-L}\sum^{M}_{m=-M}\sum^{N}_{n=1}\hat{w}\,(l,m,n)\,e^{i\,(r_xlx+r_ymy)}\sin \,(r_znz)$$ (27)

$$b\,(x,y,z) = \sum^{L}_{l=-L}\sum^{M}_{m=-M}\sum^{N}_{n=1}\hat{b}\,(l,m,n)\,e^{i\,(r_xlx+r_ymy)}\sin \,(r_znz)$$ (28)

$$\omega _1\,(x,y,z) = \sum^{L}_{l=-L}\sum^{M}_{m=-M}\sum^{N}_{n=1}\hat{\omega }_1\,(l,m,n)\,e^{i\,(r_xlx+r_ymy)}\sin \,(r_znz)$$ (29)

$$\omega _2\,(x,y,z) = \sum^{L}_{l=-L}\sum^{M}_{m=-M}\sum^{N}_{n=1}\hat{\omega }_2\,(l,m,n)\,e^{i\,(r_xlx+r_ymy)}\sin \,(r_znz)$$ (30)

$$\omega _3\,(x,y,z) = \sum^{L}_{l=-L}\sum^{M}_{m=-M}\sum^{N}_{n=0}\hat{\omega }_3\,(l,m,n)\,e^{i\,(r_xlx+r_ymy)}\cos \,(r_znz)$$ (31)

ここで

$$r_x=\frac{2\pi }{L_x}\,,\quad r_y=\frac{2\pi }{L_y}\,,\quad r_z=\frac{\pi }{d}$$ (32)

$u$,$v$,$w$,$b$,$\omega _1$,$\omega _2$,$\omega _3$は全て実数なので、対応する展開係数について以下の条件がつく。

$$\hat{u}\,(-l,-m,n)=\hat{u}^{*}(l,m,n)$$ (33)

ただし $\hat{u}^{*}$は$\hat{u}$の複素共役である。$\hat{v}$,$\hat{w}$,$\hat{b}$,$\hat{\omega }_1$,$\hat{\omega }_2$,$\hat{\omega }_3$についても同様。