B 線形安定性解析

各変数($\hat{\quad }$)を$x$方向にはFourier級数展開、$z$方向には境界条件を考慮してsin又はcos級数展開する。

$$\hat{\omega }_1(x,z)=\sum^L_{l=-L}\,\sum^N_{n=1}\,\tilde{\omega }_1(l,n)\,e^{ir_xl\,x}\sin(r_znz) \hat{u}(x,z)=\sum^L_{l=-L}\,\sum^N_{n=0}\,\tilde{u}(l,n)\,e^{ir_xl\,x}\cos(r_znz)$$

$$\hat{\omega }_2(x,z)=\sum^L_{l=-L}\,\sum^N_{n=1}\,\tilde{\omega }_2(l,n)\,e^{ir_xl\,x}\sin(r_znz) \hat{v}(x,z)=\sum^L_{l=-L}\,\sum^N_{n=0}\,\tilde{v}(l,n)\,e^{ir_xl\,x}\cos(r_znz)$$

$$\hat{\omega }_3(x,z)=\sum^L_{l=-L}\,\sum^N_{n=0}\,\tilde{\omega }_1(l,n)\,e^{ir_xl\,x}\cos(r_znz) \hat{w}(x,z)=\sum^L_{l=-L}\,\sum^N_{n=1}\,\tilde{w}(l,n)\,e^{ir_xl\,x}\sin(r_znz)$$

$$\hat{b}(x,z)=\sum^L_{l=-L}\,\sum^N_{n=1}\,\tilde{b}(l,n)\,e^{ir_xl\,x}\sin(r_znz)$$ (46)

摂動方程式の3式の右辺をそれぞれ$F_1,\,F_2,\,F_3$とおき、次のように展開する。

$$F_1(x,z)=\sum^L_{l=-L}\,\sum^N_{n=1}\,\tilde{F}_1(l,n)\,e^{ir_xl\,x}\sin(r_znz) F_2(x,z)=\sum^L_{l=-L}\,\sum^N_{n=0}\,\tilde{F}_2(l,n)\,e^{ir_xl\,x}\cos(r_znz)$$

$$F_3(x,z)=\sum^L_{l=-L}\,\sum^N_{n=1}\,\tilde{F}_3(l,n)\,e^{ir_xl\,x}\sin(r_znz)$$

摂動方程式をFourier正変換すると、各成分ごとに次の式が得られる。

$$\sigma \,\tilde{\omega }_1(l,n) = \tilde{F}_1(l,n) \qquad \qquad (\,l=-L,\ldots ,L,\,n=1,\ldots ,N\,)$$

$$\sigma \,\tilde{\omega }_3(l,n) = \tilde{F}_2(l,n) \qquad \qquad (\,l=-L,\ldots ,L,\,n=0,\ldots ,N\,)$$ (47)

$$\sigma \,\tilde{b}\,(l,n) = \tilde{F}_3(l,n) \qquad \qquad (\,l=-L,\ldots ,L,\,n=1,\ldots ,N\,)$$

$\tilde{F}_1,\,\tilde{F}_2,\,\tilde{F}_3$は $\tilde{\omega }_1\,,\,\tilde{\omega }_3\,,\,\tilde{b}$の各成分の関数なので、式(47)は次のように行列表示できる。

$$\sigma \left( \begin{array}{c} \tilde{\omega }_1(-L,1) \\ \v... ...\,(-L,1) \\ \vdots \\ \tilde{b}\,(L,N) \\ \end{array}\right)$$ (48)

ここで、行列Aは$N_M\times N_M$の正方行列である。($\,N_M=(2L+1)(3N+1)\,$)

行列Aの成分を求める。まず、$\tilde{\omega }_1(-L,1)=1$とし、他の成分を全て0として$\tilde{F}_1,\,\tilde{F}_2,\,\tilde{F}_3$を計算すると、これは行列Aの第1列である。同様にして、行列Aの全ての列が計算できる。

この行列Aの固有値$\sigma$と右固有ベクトルを、LAPACKを用いて計算する。$\sigma$の虚部が摂動の発達率に相当している。