付録:支配方程式詳細

$\displaystyle \Dinv{P}\DP{}{t} \Dlapla_2 \psi + \Dinv{P}J(\psi,\Dlapla_2\psi) - \eta(z) \DP{\psi}{x} = R \DP{\theta}{x} + \Dlapla_2 \Dlapla_2 \psi,$ (A.1)

$\displaystyle \DP{\theta}{t} + J(\psi,\theta) - \DP{\psi}{x} = \Dlapla_2\theta.$ (A.2)

これらの式は, 長さを動径方向の領域 d で, 時間を熱拡散時間 d²/κで, 速度を熱拡散速度 κ/d で, 温度を上下の温度差 ΔT で無次元化してある. ここで κ は熱拡散係数である. ψ, θはそれぞれ流線関数と基本場からの温度擾乱であり, ∇₂²=∂_xx+∂_zzは 2 次元のラプラシアン, J(f,g)=∂_x f ∂_z g-∂_z f ∂_x gはヤコビアンである. 系に現れている無次元数はレイリー数 R=αgΔTd³/κν, プランドル数 P=ν/κ, 地形性β効果をあらわすパラメターηである. ただし α は熱膨張率, g は重力, ν は粘性拡散係数である.

地形性β効果を表すパラメターηは, 回転軸方向の領域の大きさ l が大きく変化せず上下の傾きが一定の場合において η=4η₀d/lE と表される(Busse 1986). ただしη₀ は境界面の傾き, l は回転軸方向の領域の大きさ, E=ν/Ωd はエクマン数である. 球の幾何学的形状をとりこむためにこのスケーリングを局所的に適用し, ηを以下のように z の関数として与える. 円筒モデルで扱う球の部分を回転軸からの距離にして s₀ から s₁ までとすると, 回転軸からの距離と z 座標の関係は s=s₀+(s₁-s₀)z となる. この s を用いると, 回転軸方向の領域の広がりと境界面の傾きが l=2(r_o²-s²)^1/2, η₀=s/(r_o²-s²)^1/2 と表される. ただしr₀は球殻の外側半径である. これを上の式に代入して

$\begin{displaymath} \eta(z) = \frac{2s(z)}{E[r_o^2 -s(z)^2]}, \quad s(z) = s_0 + (s_1-s_0)z \end{displaymath}$ (A.3)

となる. 計算においては r₀=1, s₀=0.4, s₁=0.9 なる値を用いた.

図 : 数値モデルの概念図

付録:支配方程式詳細