2.4 渦度方程式

式(1)〜(3)・(5)より次の渦度方程式が得られる。

$$\frac{\partial \mbox{\boldmath$\omega $}}{\partial t}=\nabla \tim... ...abla ^2(\mbox{\boldmath$\omega $}{\color{red}\,-\,\mbox{\boldmath$\omega $}_B})$$ (8)

ここで、${\displaystyle \mbox{\boldmath $\omega $}=(\,\omega _1\,,\,\omega _2\,,\,\omega _3)^{\rm T}=\nabla \times \mbox{\boldmath $u$}}$：渦度ベクトル、${\displaystyle \mbox{\boldmath $b$}=(0,\,0,\,b)^{\rm T}}$、${\displaystyle \mbox{\boldmath $\omega $}_B=(0,0,\omega _{\,3B})^{\rm T}}$、${\displaystyle \omega _{3B}=\frac{\partial v_B}{\partial x}=-2\pi \,Re\,\sin \,\left(\frac{2\pi }{L_x}\,x\right)}$である。

渦度に関する境界条件は次のようになる。

$$\omega _1=\omega _2=\frac{\partial \omega _3}{\partial z}=0 \mbox{at\quad $z=0,\,1$}$$ (9)

渦度の独立な2成分²と浮力について、式(4),(8)に基づき非線形時間発展を計算する。