C.1 エネルギー変換

順圧渦成分への順圧平均流・傾圧成分の寄与を求める。順圧渦成分の時間変化は

$$\frac{dE_{bw}}{dt} = \frac{1}{2}\sum _{l=-L}^{L}\,\,\,\,\sum _{\hspace{-0.6em}\raisebo... ...,\,\frac{d}{dt}\left(\vert\hat{u}_{lm0}\vert^2+\vert\hat{v}_{lm0}\vert^2\right)$$

$$= \frac{1}{2}\sum _{l=-L}^{L}\,\,\,\,\sum _{\hspace{-0.6em}\raisebo... ...\frac{d\hat{v}^{*}_{lm0}}{dt}+\hat{v}^{*}_{lm0}\frac{d\hat{v}_{lm0}}{dt}\right)$$

$$= \sum _{l=-L}^{L}\,\,\,\,\sum _{\hspace{-0.6em}\raisebox{0.3ex}{${... ...right)+\mbox{Re}\left(\hat{v}_{lm0}\frac{d\hat{v}^{*}_{lm0}}{dt}\right)\right\}$$

$$= \sum _{l=-L}^{L}\,\,\,\,\sum _{\hspace{-0.6em}\raisebox{0.3ex}{${... ...ox{Im}(\hat{u}_{lm0})\,\mbox{Im}\!\left(\frac{d\hat{u}_{lm0}}{dt}\right)\right.$$

$$\left. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\mbox{Re}(\hat{v}_{lm0... ...x{Im}(\hat{v}_{lm0})\,\mbox{Im}\!\left(\frac{d\hat{v}_{lm0}}{dt}\right)\right\}$$ (55)

同様に、順圧平均流成分の時間変化は

$$\frac{dE_{bz}}{dt} = \sum _{l=-L}^{L}\left\{\mbox{Re}(\hat{u}_{l00})\,\mbox{Re}\!\left... ...ox{Im}(\hat{u}_{l00})\,\mbox{Im}\!\left(\frac{d\hat{u}_{l00}}{dt}\right)\right.$$

$$\left. \qquad \qquad \qquad \qquad \qquad +\mbox{Re}(\hat{v}_{l00... ...x{Im}(\hat{v}_{l00})\,\mbox{Im}\!\left(\frac{d\hat{v}_{l00}}{dt}\right)\right\}$$ (56)

式中の時間微分項については非線形時間発展と同様に渦度方程式から求める⁴。渦度方程式に含まれる二次項が、各成分同士の相互作用の効果を生み出す。

傾圧成分から順圧渦成分へのエネルギー変換は、式(55)の時間微分項を傾圧成分のみから計算したときの$dE_{bw}/dt$である。順圧平均流成分から順圧渦成分へのエネルギー変換については逆の変換を考えて、式(56)の時間微分項を順圧渦成分のみから計算したときの$dE_{bz}/dt$の符号を逆にすれば良い。