A.4.3 渦度と速度の関係

sin, cos級数展開のときのように$\protect{\nabla \times \mbox{\boldmath {$\omega $}}=-\nabla ^2\mbox{\boldmath {$u$}}}$の関係を用いて$\protect{\mbox{\boldmath {$\omega $}}}$から$\protect{\mbox{\boldmath {$u$}}}$を求めると、ルジャンドル多項式展開ではラプラシアンを厳密に計算できないため、連続の式(非圧縮性)を満たさない可能性がある。これを避けるため、速度ポテンシャルを用いて$\protect{\mbox{\boldmath {$\omega $}}}$と$\protect{\mbox{\boldmath {$u$}}}$を関係付ける。

$\protect{\nabla \cdot \mbox{\boldmath {$u$}}=0}$なので、ベクトルポテンシャル$\protect{\mbox{\boldmath {$A$}}}$を用いて

$$\mbox{\boldmath {$u$}} =\nabla \times \mbox{\boldmath {$A$}}$$ (53)

とおく。すると、

$$\mbox{\boldmath {$\omega $}} =\nabla \times (\nabla \times \mbox{\boldmath {$A$}} )=\nabla (\nabla \!\cdot \mbox{\boldmath {$A$}} )-\nabla ^2 \mbox{\boldmath {$A$}}$$

$\protect{\nabla \!\cdot \mbox{\boldmath {$A$}}=0}$となるように$\protect{\mbox{\boldmath {$A$}}}$を定めると

$$\mbox{\boldmath {$\omega $}} =-\nabla ^2 \mbox{\boldmath {$A$}}$$ (54)

となる。第$1,\,2$成分について

$$\left\{ \begin{array}{ll} \omega _1=-\nabla ^2A_1 \\ \omega _2=-\nabla ^2A_2 \end{array}\right.$$

境界条件は$\,z=0,\,d$で$A_1=A_2=0\,$である。スペクトルで書くと、

$$\left\{ \begin{array}{ll} \displaystyle{\left(l^2+m^2-\frac{d... ...right)\hat{A}_{2\,lm}=\hat{\omega }_{2\,lm}} \end{array}\right.$$

これらをガラーキン法で解き、$A_1,\,A_2$を求める。また、$\protect{\nabla \cdot \mbox{\boldmath {$A$}}=0}$より

$$\frac{\partial A_3}{\partial z}=-\frac{\partial A_1}{\partial x}-\frac{\partial A_2}{\partial y}$$

で$\protect{\displaystyle{\frac{\partial A_3}{\partial z}}}$を求める。$A_3$の順圧成分は、(54)より

$$(l^2+m^2)\hat{A}_{30\,lm}=\hat{\omega }_{30\,lm}$$

で求まる。あとは(53)より$\protect{\mbox{\boldmath {$u$}}}$を計算すればよい。(53)で求まる$\protect{\mbox{\boldmath {$u$}}}$は自動的に$\protect{\nabla \cdot \mbox{\boldmath {$u$}}=0}$を満たす。