A.5 線形安定性解析

各変数($\hat{\quad }$)を$x$方向にはFourier級数展開、$z$方向にはルジャンドル多項式展開する。

$$\hat{\omega }_1(x,z)=\sum^L_{l=-L}\,\sum^N_{p=1}\,\tilde{\omega }_1(l,p)\,e^{ir_xl\,x}\eta _p(z) \frac{\partial \hat{u}}{\partial z}(x,z)=\sum^L_{l=-L}\,\sum^N_{p=1}\,\tilde{u'}(l,p)\,e^{ir_xl\,x}\eta _p(z)$$

$$\hat{\omega }_2(x,z)=\sum^L_{l=-L}\,\sum^N_{p=1}\,\tilde{\omega }_2(l,p)\,e^{ir_xl\,x}\eta _p(z) \hspace{1.3em}\hat{u}_0(x)=\sum^L_{l=-L}\,\tilde{u}_0(l)\,e^{ir_xl\,x}$$

$$\frac{\partial \hat{\omega }_3}{\partial z}(x,z)=\sum^L_{l=-L}\,\sum^N_{p=1}\,\tilde{\omega }_3'(l,p)\,e^{ir_xl\,x}\eta _p(z) \frac{\partial \hat{v}}{\partial z}(x,z)=\sum^L_{l=-L}\,\sum^N_{p=1}\,\tilde{v'}(l,p)\,e^{ir_xl\,x}\eta _p(z)$$

$$\hat{\omega }_{30}(x)=\sum^L_{l=-L}\,\tilde{\omega }_{30}(l)\,e^{ir_xl\,x}\hspace{4.5em} \hspace{1.3em}\hat{v}_0(x)=\sum^L_{l=-L}\,\tilde{v}_0(l)\,e^{ir_xl\,x}$$

$$\hat{b}(x,z)=\sum^L_{l=-L}\,\sum^N_{p=1}\,\tilde{b}(l,p)\,e^{ir_xl\,x}\eta _p(z)\hspace{.5em} \hspace{.6em}\hat{w}(x,z)=\sum^L_{l=-L}\,\sum^N_{p=1}\,\tilde{w}(l,p)\,e^{ir_xl\,x}\eta _p(z)$$

摂動方程式(13)〜(15)の3式の右辺をそれぞれ$F_1,\,F_2,\,F_3$とおき、次のように展開する。

$$F_1(x,z)=\sum^L_{l=-L}\,\sum^N_{p=1}\,\tilde{F}_1(l,p)\,e^{ir_xl\,x}\eta _p(z) \frac{\partial F_2}{\partial z}(x,z)=\sum^L_{l=-L}\,\sum^N_{p=1}\,\tilde{F}_2'(l,p)\,e^{ir_xl\,x}\eta _p(z)$$

$$F_3(x,z)=\sum^L_{l=-L}\,\sum^N_{p=1}\,\tilde{F}_3(l,p)\,e^{ir_xl\,x}\eta _p(z) \hspace{1.3em}F_{20}(x)=\sum^L_{l=-L}\,\tilde{F}_{20}(l)\,e^{ir_xl\,x}$$

摂動方程式を正変換すると、各成分ごとに次の式が得られる。

$$\sigma \,\tilde{\omega }_1(l,p) = \tilde{F}_1(l,p)\hspace{4.45em}(\,l=-L,\ldots ,L,\,p=1,\ldots ,N\,)$$

$$\sigma \,\tilde{\omega }_3'(l,p) = \tilde{F}_2'(l,p)\hspace{4.45em}(\,l=-L,\ldots ,L,\,p=1,\ldots ,N\,)$$ (55)

$$\sigma \,\tilde{b}\,(l,p) = \tilde{F}_3(l,p)\hspace{4.45em}(\,l=-L,\ldots ,L,\,p=1,\ldots ,N\,)$$

$$\sigma \,\tilde{\omega }_{30}(l) = \tilde{F}_{20}(l) \hspace{5em}(\,l=-L,\ldots ,L\,)$$

$\protect{\tilde{F}_1,\,\tilde{F}_2',\,\tilde{F}_3,\,\tilde{F}_{20}}$は$\protect{\tilde{\omega }_1\,,\,\tilde{\omega }_3'\,,\,\tilde{b}\,,\,\tilde{\omega }_{30}}$の各成分の関数なので、式(55)は次のように行列表示できる。

$$\sigma \left( \begin{array}{c} \tilde{\omega }_1(-L,1) \\ [-.... ...] \vdots \\ [-.45em] \tilde{\omega }_{30}(L) \end{array}\right)$$ (56)

ここで、行列Aは$\protect{N_M\times N_M}$の正方行列である。($\protect{\,N_M=(2L+1)(3N+1)\,}$)

行列Aの成分を求める。まず、$\protect{\tilde{\omega }_1(-L,1)=1}$とし、他の成分を全て0として$\protect{\tilde{F}_1,\,\tilde{F}_2',\,\tilde{F}_3,\,\tilde{F}_{20}}$を計算すると、これは行列Aの第1列である。同様にして、行列Aの全ての列が計算できる。

この行列Aの固有値$\sigma$と右固有ベクトルをLAPACKを用いて計算する。$\sigma$の虚部が摂動の発達率に相当している。