4.1 摂動方程式

式(2),(7)の各変数を基本場($\bar{\,}\,$)と摂動($\,'\,$)に分け、両式を線形化すると次の摂動方程式が得られる。

$$\frac{\partial \mbox{\boldmath {$\omega $}}'}{\partial t}=\nabla ... ...nabla \times \mbox{\boldmath {$b$}}')+\nabla ^2\mbox{\boldmath {$\omega $}}'\,,$$ (10)

$$\frac{\partial b'}{\partial t}+\overline{u}\frac{\partial b'}{\pa... ...al b'}{\partial z}+w'\frac{\partial \overline{b}}{\partial z}=w'+\nabla ^2b'\,.$$ (11)

ここで

$$\nabla \times ( \mbox{\boldmath {$u$}} '\times \mbox{\boldmath {$f$}} )=( \mbox{\boldmath {$f$}} \cdot \nabla )\, \mbox{\boldmath {$u$}} '={\color{red}f_x}\frac{\partial \mbox{\boldmath {$u$}}'}{\partia... ...\partial y}+{\color{red}f_z}\frac{\partial \mbox{\boldmath {$u$}}'}{\partial z}$$

ただし、基本場は定常かつ$y$方向に一様なので、基本場成分の時間微分・$y$微分は0となる。

次に、摂動として$y$方向の波動解を仮定すると以下のように書ける。

$$\omega _1'={\rm Re}\,\{\,\hat{\omega }_1(x,z)\,e^{i(r_ymy-\sigma t)}\,\} u'={\rm Re}\,\{\,\hat{u}(x,z)\,e^{i(r_ymy-\sigma t)}\,\}$$

$$\omega _2'={\rm Re}\,\{\,\hat{\omega }_2(x,z)\,e^{i(r_ymy-\sigma t)}\,\} v'={\rm Re}\,\{\,\hat{v}(x,z)\,e^{i(r_ymy-\sigma t)}\,\}$$

$$\omega _3'={\rm Re}\,\{\,\hat{\omega }_3(x,z)\,e^{i(r_ymy-\sigma t)}\,\} w'={\rm Re}\,\{\,\hat{w}(x,z)\,e^{i(r_ymy-\sigma t)}\,\}$$

$$b'={\rm Re}\,\{\,\hat{b}(x,z)\,e^{i(r_ymy-\sigma t)}\,\}\,\,\,\,$$ (12)

ただし、$\hat{\omega }_1$,$\hat{\omega }_2$,$\hat{\omega }_3$,$\hat{b}$,$\hat{u}$,$\hat{v}$,$\hat{w}$,$\sigma$は全て複素数とする。$m$は$y$方向の波数、$r_y=2\pi /L_y$である。

$\hat{\omega }_1$,$\hat{\omega }_3$,$\hat{b}$の3つを独立な変数とする。式(10)の$x$,$z$成分と式(11)を計算すると次のようになる。

$$\sigma \,\hat{\omega }_1 = \left\{r_ym\,\overline{v}-i\left(r_y^2m^2+\frac{\partial \overlin... ...tial ^2}{\partial x^2}+i\frac{\partial ^2}{\partial z^2}\right\}\hat{\omega }_1$$

$$-r_ym\,\overline{u}\,\,\hat{\omega }_2 +\left(i\frac{\partial \ov... ...overline{u}\frac{\partial }{\partial z}\right)\hat{\omega}_3 -r_ym\,Ra\,\hat{b}$$

$$+\left\{r_ym\,(\overline{\zeta }-{\color{red}f_y})+i\,\frac{\part... ...rtial x}+{\color{red}f_z}\!\right)\!\frac{\partial }{\partial z}\right\}\hat{u}$$

$$-r_ym\,\frac{\partial \overline{v}}{\partial z}\,\hat{v} +\left\{... ...ial \overline{v}}{\partial z}\right)\frac{\partial }{\partial z}\right\}\hat{w}$$ (13)

$$\sigma \,\hat{\omega }_3 = \left\{r_ym\,\overline{v}-i\left(r_y^2m^2+\frac{\partial \overlin... ...tial ^2}{\partial x^2}+i\frac{\partial ^2}{\partial z^2}\right\}\hat{\omega }_3$$

$$-r_ym\,\overline{w}\,\,\hat{\omega }_2 +\left(i\frac{\partial \ov... ...}}{\partial x}+i\,\overline{w}\frac{\partial }{\partial x}\right)\hat{\omega}_1$$

$$+\left\{r_ym\,(\overline{\zeta }-{\color{red}f_y})-i\,\frac{\part... ...rtial z}+{\color{red}f_x}\!\right)\!\frac{\partial }{\partial x}\right\}\hat{w}$$

$$+r_ym\,\frac{\partial \overline{v}}{\partial x}\,\hat{v} +\left\{... ...ial \overline{v}}{\partial x}\right)\frac{\partial }{\partial x}\right\}\hat{u}$$ (14)

$$\sigma \,\hat{b} = \left(r_ym\overline{v}-ir_y^2m^2-i\overline{u}\frac{\partial }{\p... ...ial x}\,\hat{u}+i\left(1-\frac{\partial \overline{b}}{\partial z}\right)\hat{w}$$ (15)

式(13)〜(15)に対して固有値解析を行う。計算方法の詳細はAppendixA.5で述べる。