2.1 基礎方程式

回転軸まわりに角速度$f/2$で回転する系におけるブシネスク流体を考える。鉛直方向の深さ、動粘性係数、および上下境界での浮力差によって無次元化された基礎方程式は以下のように書ける。

$$: \frac{\partial \mbox{\boldmath {$u$}}}{\partial t}+(\mbox{\boldma... ...{\boldmath {$b$}}+\nabla ^2(\mbox{\boldmath {$u$}}-\mbox{\boldmath {$u$}}_B)\,,$$ 運動方程式 (1)

$$: \frac{\partial b}{\partial t}+u\frac{\partial b}{\partial x}+v\frac{\partial b}{\partial y}+w\frac{\partial b}{\partial z}=w+\nabla ^2b\,,$$ 熱力学の式 (2)

$$: \frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y}+\frac{\partial w}{\partial z}=0\,.$$ 連続の式　 (3)

ここに、$t$: 時刻、$(x,y,z)$: 空間のデカルト座標($z$: 鉛直)、$\protect{\mbox{\boldmath {$u$}}=(u,v,w)}$: $(x,y,z)$方向の流速、$p$: 圧力関数、$b$: 浮力、$Ra$: レイリー数、$\nabla ^2$: ラプラシアン、であり、

$$\mbox{\boldmath {$f$}} =\left(\begin{array}{c} f\cos \theta \\ 0 \\ f\sin \theta \end{array}\right)\,,\quad 0\leq \theta \leq \frac{\pi}{2}\,:\,$$

$$\mbox{\boldmath {$b$}} =\left(\begin{array}{c} 0 \\ 0 \\ b \end{array}\right)\,, \mbox{\boldmath {$u$}} _B=\left(\begin{array}{c} 0 \\ v_B \\ 0 \end{array}\right)\,,\quad v_B=Re\,L_x\,\cos \left(\frac{2\pi }{L_x}x\right)\,.$$ (4)

なお本研究では古川 & 新野(2006)[4]やHathaway & Somerville(1987)[2]に倣い、プラントル数を1としている。また、$\protect{\mbox{\boldmath {$u$}}_B}$は基本流(水平シア流、$Re$: レイノルズ数)であり、(1)式右辺第2,4項に$\protect{\mbox{\boldmath {$u$}}_B}$が含まれるのは基本流を定常解とするためである¹。

図2: 基本流 ${v_B}$ (横軸: ${x}$軸、縦軸: 速度${v}$)

図3: モデル概念図 (${\theta }$: 緯度)

ここで、次元つきパラメータとの対応について補足しておく。熱膨張率を$\alpha$、重力加速度を$g$、動粘性係数を$\nu$、熱伝導率を$\kappa$、鉛直方向の深さを$d$、(下端,上端)の温度を$(T_1,T_2)$、温度減率を$\Gamma =(T_1-T_2)/d$、とすると、

$$Ra=\frac{\alpha g\Gamma d^4}{\kappa \nu }$$ (5)

である。無次元化された浮力$b$と温度$T$の間には

$$T=T_1+\Gamma (bd-z)$$ (6)

の関係がある。3章以降で示す図においては、浮力$b$の代わりに温度$T$を表示している。ただし、そこでは $\alpha =g=\nu =\kappa =d=1,\,T_1=Ra\,(=10000),\,T_2=0$としている。