E 順圧不安定
基本流
が、
方向の波数
の擾乱に対して安定であることを証明する。なお、この章では証明を見易くするため、波数を
と置き換えている。また、粘性の影響を明確にするため、動粘性係数
(本研究では1)を表示している。
順圧成分について考えるので、基礎方程式の(1),(2),(5)において
微分を0とすると
ただし、
ここで、流線関数
を次のように定義する。
![$\displaystyle u=-\frac{\partial \psi}{\partial y}\qquad v=\frac{\partial \psi}{\partial x}$](img342.png) |
(60) |
また、渦度
を次で定義する。
![$\displaystyle \zeta =\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=\nabla ^2_h\psi$](img344.png) |
(61) |
式(57),(58)より、渦度方程式は
式(59),(61)を用いて
のみで表すと次のようになる。
![$\displaystyle \frac{\partial }{\partial t}\nabla ^2_h\psi +\left(\frac{\partial...
...,\nabla ^2_h(\nabla ^2_h\psi )-\nu \,\nabla ^2_h\frac{\partial v_B}{\partial x}$](img346.png) |
(62) |
渦度方程式(62)は次の
を定常解として持つ。
![$\displaystyle \overline{\psi }(x)=\!\int \!v_B(x)\,dx=\frac{v_0}{l_0}\sin (l_0x)$](img348.png) |
(63) |
この基本流
に摂動
を与えた場合、摂動方程式は線形化して次のようになる。
![$\displaystyle \left(\frac{\partial }{\partial t}-\nu \,\nabla ^2_h\right)\nabla...
...la ^2_h\overline{\psi }}{\partial x}\frac{\partial \psi '}{\partial y}\right)=0$](img350.png) |
(64) |
ここで、領域積分の記号を次で定める。
式(64)の両辺に
を掛けて領域積分し、部分積分を行うと擾乱のエネルギー
に関する次式を得る。
また、式(64)の両辺に
を掛けて同様の操作を行うと擾乱のエンストロフィー
に関する次式を得る。
ここで(63)より
![$\displaystyle \nabla ^2_h\overline{\psi }=-l_0\,\!\!^2\,\overline{\psi }$](img369.png) |
(67) |
よって、次の関係が得られる。
![$\displaystyle \frac{d}{dt}Q-l_0\,\!\!^2\,\frac{d}{dt}E=\nu \,\langle \nabla ^2_...
...bla ^2_h\psi ')\rangle +\nu \,l_0\,\!\!^2\,\langle (\nabla ^2_h\psi ')^2\rangle$](img370.png) |
(68) |
ここで
を
方向の波数
の摂動としてスペクトル展開する。
![$\displaystyle \psi '(x,y,t)=\sum_{l=-L}^{L}\left\{\hat{\psi }\,_{lm}(t)\,e^{i\,(lx+my)}+\hat{\psi }\,_{l(-m)}(t)\,e^{i\,(lx-my)}\right\}$](img372.png) |
(69) |
すると、
は次のように書ける。
同様にして
や(68)の右辺第1項は次のようになる。
![$\displaystyle Q\,=\,\frac{1}{2}\langle (\nabla _h^2\psi ')^2\rangle \,=\,\sum_{l=-L}^{L}\!(\,l^2+m^2)^2\,\vert\hat{\psi }_{lm}(t)\vert^2$](img379.png) |
(71) |
![$\displaystyle \nu \,\langle \nabla ^2_h\psi '\,\nabla ^2_h(\nabla ^2_h\psi ')\rangle =-2\,\nu \!\sum_{l=-L}^{L}\!(\,l^2+m^2)^3\,\vert\hat{\psi }_{lm}(t)\vert^2$](img380.png) |
(72) |
(70),(71),(72)を(68)に代入し、さらに
![$\displaystyle E_{lm}(t)\equiv (\,l^2+m^2)\,\vert\hat{\psi }_{lm}(t)\vert^2$](img381.png) |
(73) |
を導入すると、次の式が得られる。
![$\displaystyle \sum_{l=-L}^{L}[\,(\,l^2+m^2)\,-l_0\,\!\!^2\,]\frac{d}{dt}E_{lm}(...
...2\,\nu \!\!\sum_{l=-L}^{L}[\,(\,l^2+m^2)^2-l_0\,\!\!^2(\,l^2+m^2)\,\,]E_{lm}(t)$](img382.png) |
(74) |
さて、基本流が線形不安定であるとき、(64)は発達する固有モードを持つ。その発達率
を用いて、
の時間変化は
![$\displaystyle E_{lm}(t)=e^{2\sigma t}E_{lm}(0)$](img385.png) |
(75) |
と表せる。(75)を(74)に代入すれば、
![$\displaystyle \sum_{l=-L}^{L}(\,l^2+m^2-l_0\,\!\!^2)\,\{\sigma +\nu \,(l^2+m^2)\}\,E_{lm}(0)=0$](img386.png) |
(76) |
を得る。したがって、擾乱が発達するための必要条件は、「
かつ
が成立」となる。
- i)
の擾乱
-
より、(76)の
の係数は全ての
について正である。したがって、
は全て0になり、擾乱は発達しない。
- ii)
の擾乱
,
の場合にのみ必要条件が満たされる。これは初期擾乱が
モード単独であることを意味しているが、このとき(64)は左辺第2項の括弧内が0となり、
のように拡散方程式の形になるため、擾乱は発達しない。
i),ii)より、基本流
は
方向の波数
の擾乱に対して安定である。
この結果より、基本流
は
方向の波数
の擾乱に対して安定である。波数の表記を元に戻すと、基本流
は
の擾乱に対して安定である。本研究では
なので
より、
方向の波数
の擾乱に対して安定となる。
SAITO Naoaki
2008-03-07