E 順圧不安定

基本流$v_B(x)=v_0\cos (l_0x)$が、$y$方向の波数$m\geq l_0$の擾乱に対して安定であることを証明する。なお、この章では証明を見易くするため、波数を$r_xl\to l\,,\,r_ym\to m\,$と置き換えている。また、粘性の影響を明確にするため、動粘性係数$\nu$(本研究では1)を表示している。

順圧成分について考えるので、基礎方程式の(1),(2),(5)において$z$微分を0とすると

$$\frac{\partial u}{\partial t}+u\frac{\partial u}{\partial x}+v\frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial p}{\partial x}+fv+\nu \,\nabla ^2_hu$$ (57)

$$\frac{\partial v}{\partial t}+u\frac{\partial v}{\partial x}+v\frac{\partial v}{\partial y} = -\frac{\partial p}{\partial y}-fu+\nu \,\nabla ^2_h(v-v_B)$$ (58)

$$\frac{\partial u}{\partial x}+\frac{\partial v}{\partial y} =$$ 0 (59)

ただし、

$$\nabla ^2_h=\frac{\partial ^2}{\partial x^2}+\frac{\partial ^2}{\partial y^2}$$

ここで、流線関数$\psi$を次のように定義する。

$$u=-\frac{\partial \psi}{\partial y}\qquad v=\frac{\partial \psi}{\partial x}$$ (60)

また、渦度$\zeta$を次で定義する。

$$\zeta =\frac{\partial v}{\partial x}-\frac{\partial u}{\partial y}=\nabla ^2_h\psi$$ (61)

式(57),(58)より、渦度方程式は

$$\frac{\partial \zeta }{\partial t}+u\frac{\partial \zeta }{\parti... ...right)=\nu \,\nabla ^2_h\zeta -\nu \,\nabla ^2_h\frac{\partial v_B}{\partial x}$$

式(59),(61)を用いて$\psi$のみで表すと次のようになる。

$$\frac{\partial }{\partial t}\nabla ^2_h\psi +\left(\frac{\partial... ...,\nabla ^2_h(\nabla ^2_h\psi )-\nu \,\nabla ^2_h\frac{\partial v_B}{\partial x}$$ (62)

渦度方程式(62)は次の$\overline{\psi }(x)$を定常解として持つ。

$$\overline{\psi }(x)=\!\int \!v_B(x)\,dx=\frac{v_0}{l_0}\sin (l_0x)$$ (63)

この基本流$\overline{\psi }(x)$に摂動$\psi '(x,y,t)$を与えた場合、摂動方程式は線形化して次のようになる。

$$\left(\frac{\partial }{\partial t}-\nu \,\nabla ^2_h\right)\nabla... ...la ^2_h\overline{\psi }}{\partial x}\frac{\partial \psi '}{\partial y}\right)=0$$ (64)

ここで、領域積分の記号を次で定める。

$$\langle \quad \rangle =\frac{1}{4\pi ^2}\int _0^{2\pi }\!\!dx\int _0^{2\pi }\!\!dy$$

式(64)の両辺に$\psi '$を掛けて領域積分し、部分積分を行うと擾乱のエネルギー$E$に関する次式を得る。

$$\frac{d}{dt}E \equiv -\frac{d}{dt}\,\frac{1}{2}\langle \psi '\,\nabla ^2_h\psi '\rangle$$

$$= -\frac{1}{2}\left(\left\langle \frac{\partial \psi '}{\partial t}... ...ngle \psi '\,\frac{\partial \nabla ^2_h\psi '}{\partial t}\right\rangle \right)$$

$$= -\left\langle \psi '\,\frac{\partial \nabla ^2_h\psi '}{\partial t}\right\rangle$$

$$= \left\langle \frac{\partial \overline{\psi }}{\partial x}\,\psi '... ...al y}\right\rangle -\nu \,\langle \psi '\,\nabla ^2_h(\nabla ^2_h\psi ')\rangle$$

$$= \left\langle \frac{\partial \overline{\psi }}{\partial x}\,\psi '... ...al y}\right\rangle -\nu \,\langle \psi '\,\nabla ^2_h(\nabla ^2_h\psi ')\rangle$$

$$= \left\langle \frac{\partial \overline{\psi }}{\partial x}\,\psi '... ...2_h\psi '}{\partial y} \right\rangle-\nu \,\langle (\nabla ^2_h\psi ')^2\rangle$$ (65)

また、式(64)の両辺に$\nabla ^2_h\psi '$を掛けて同様の操作を行うと擾乱のエンストロフィー$Q$に関する次式を得る。

$$\frac{d}{dt}Q \equiv \frac{d}{dt}\,\frac{1}{2}\langle (\nabla ^2_h\psi ')^2\rangle$$

$$= \left\langle \nabla ^2_h\psi '\,\frac{\partial \nabla ^2_h\psi '}{\partial t}\right\rangle$$

$$= -\left\langle \frac{\partial \overline{\psi }}{\partial x}\,\nabl... ...\rangle +\nu \,\langle \nabla ^2_h\psi '\,\nabla ^2_h(\nabla ^2_h\psi ')\rangle$$

$$= -\left\langle \frac{\partial \overline{\psi }}{\partial x}\,\frac... ...\rangle +\nu \,\langle \nabla ^2_h\psi '\,\nabla ^2_h(\nabla ^2_h\psi ')\rangle$$

$$= -\left\langle \frac{\partial \nabla ^2_h\overline{\psi }}{\partia... ...\rangle +\nu \,\langle \nabla ^2_h\psi '\,\nabla ^2_h(\nabla ^2_h\psi ')\rangle$$ (66)

ここで(63)より

$$\nabla ^2_h\overline{\psi }=-l_0\,\!\!^2\,\overline{\psi }$$ (67)

よって、次の関係が得られる。

$$\frac{d}{dt}Q-l_0\,\!\!^2\,\frac{d}{dt}E=\nu \,\langle \nabla ^2_... ...bla ^2_h\psi ')\rangle +\nu \,l_0\,\!\!^2\,\langle (\nabla ^2_h\psi ')^2\rangle$$ (68)

ここで$\psi '$を$y$方向の波数$m\,(>0)$の摂動としてスペクトル展開する。

$$\psi '(x,y,t)=\sum_{l=-L}^{L}\left\{\hat{\psi }\,_{lm}(t)\,e^{i\,(lx+my)}+\hat{\psi }\,_{l(-m)}(t)\,e^{i\,(lx-my)}\right\}$$ (69)

すると、$E$は次のように書ける。

$$E = -\frac{1}{2}\langle \psi '\nabla _h^2\psi '\rangle$$

$$= -\frac{1}{2}\,\frac{1}{4\pi ^2}\int_0^{2\pi }\!\!dx\int_0^{2\pi }... ...m}(t)\,e^{i\,(lx+my)}+\hat{\psi }\,_{l\,(-m)}(t)\,e^{i\,(lx-my)}\right\}\right]$$

$$\hspace{2em} \times \left[\,\sum_{l'=-L}^{L}\{-(l')^2-m^2\}\left\... ...m}\,e^{i\,(-l'x+my)}+\hat{\psi }\,_{(-l')(-m)}\,e^{i\,(-l'x-my)}\right\}\right]$$

$$= \frac{1}{2}\sum_{l=-L}^{L}\!(\,l^2+m^2)\,\left\{\vert\hat{\psi }_{lm}\vert^2+\vert\hat{\psi }_{l\,(-m)}\vert^2\right\}$$

$$= \sum_{l=-L}^{L}\!(\,l^2+m^2)\,\vert\hat{\psi }_{lm}(t)\vert^2$$ (70)

同様にして$Q$や(68)の右辺第1項は次のようになる。

$$Q\,=\,\frac{1}{2}\langle (\nabla _h^2\psi ')^2\rangle \,=\,\sum_{l=-L}^{L}\!(\,l^2+m^2)^2\,\vert\hat{\psi }_{lm}(t)\vert^2$$ (71)

$$\nu \,\langle \nabla ^2_h\psi '\,\nabla ^2_h(\nabla ^2_h\psi ')\rangle =-2\,\nu \!\sum_{l=-L}^{L}\!(\,l^2+m^2)^3\,\vert\hat{\psi }_{lm}(t)\vert^2$$ (72)

(70),(71),(72)を(68)に代入し、さらに

$$E_{lm}(t)\equiv (\,l^2+m^2)\,\vert\hat{\psi }_{lm}(t)\vert^2$$ (73)

を導入すると、次の式が得られる。

$$\sum_{l=-L}^{L}[\,(\,l^2+m^2)\,-l_0\,\!\!^2\,]\frac{d}{dt}E_{lm}(... ...2\,\nu \!\!\sum_{l=-L}^{L}[\,(\,l^2+m^2)^2-l_0\,\!\!^2(\,l^2+m^2)\,\,]E_{lm}(t)$$ (74)

さて、基本流が線形不安定であるとき、(64)は発達する固有モードを持つ。その発達率$\sigma \,(>0)$を用いて、$E_{lm}(t)$の時間変化は

$$E_{lm}(t)=e^{2\sigma t}E_{lm}(0)$$ (75)

と表せる。(75)を(74)に代入すれば、

$$\sum_{l=-L}^{L}(\,l^2+m^2-l_0\,\!\!^2)\,\{\sigma +\nu \,(l^2+m^2)\}\,E_{lm}(0)=0$$ (76)

を得る。したがって、擾乱が発達するための必要条件は、「${\displaystyle \sum_{l=-L}^{L}\!E_{lm}(0)>0}$かつ$(\ref{a55})$が成立」となる。

i) $m>l_0$の擾乱

$l^2+m^2-l_0\,\!\!^2>l^2+l_0\,\!\!^2-l_0\,\!\!^2\geq 0$より、(76)の$E_{lm}(0)$の係数は全ての$l$について正である。したがって、$E_{lm}(0)$は全て0になり、擾乱は発達しない。

ii) $m=l_0$の擾乱

$E_{0m}(0)>0$,$\,E_{lm}(0)=0\,\,(l\neq 0)$の場合にのみ必要条件が満たされる。これは初期擾乱が$\psi _{0m}$モード単独であることを意味しているが、このとき(64)は左辺第2項の括弧内が0となり、

$$\left(\frac{\partial }{\partial t}-\nu \,\nabla ^2_h\right)\nabla ^2_h\psi '=0$$

のように拡散方程式の形になるため、擾乱は発達しない。

i),ii)より、基本流$v_B=v_0\cos \,(l_0x)$は$y$方向の波数$m\geq l_0$の擾乱に対して安定である。     

この結果より、基本流$v_B=v_0\cos(x)$は$y$方向の波数$m\geq 1$の擾乱に対して安定である。波数の表記を元に戻すと、基本流$v_B=Re\,L_x\cos(r_xx)$は$r_ym\geq r_x$の擾乱に対して安定である。本研究では$L_x=L_y\,(=10)$なので$r_x=r_y$より、$y$方向の波数$m\geq 1$の擾乱に対して安定となる。