A.3.1 ルジャンドル多項式による展開の例

以下のような1次元熱伝導方程式を例に説明する。

$$\frac{\partial \omega }{\partial t}=\frac{\partial ^2\omega }{\partial z^2}\quad (-1\leq z\leq 1) \,.$$ (34)

$$\omega (\pm 1,\,t)=0\,,\,\,\omega (z,\,0)=f(z)\,.$$

変数$\omega$を以下のように級数展開する。

$$\omega (z,\,t)=\sum_{n=1}^{N}\hat{\omega }_n(t)\,\phi _n(z)\,.$$ (35)

ここで、$\phi _n(z)$は以下のように定義される。

$$\phi _n(z) \equiv \int_{-1}^zP_n(\mu )\,d\mu$$

$$= \frac{P_{n+1}(z)}{\sqrt{(2n+1)(2n+3)}}-\frac{P_{n-1}(z)}{\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}\,. \qquad (n\geq 1)$$ (36)

これは次を満たす。

$$\frac{d\phi _n(z)}{dz}=P_n(z)\,,\quad \phi _n(\pm 1)=0\,.\quad \l... ...x}{.}\int_{-1}^1P_n(\mu )\,d\mu =\int_{-1}^1P_0(\mu)\,P_n(\mu )\,d\mu =0\right)$$

このように、両端0の基底として$\,\phi _n(z)\,\,(n\geq 1)$を用いる。具体的な形は以下のようになる。

$$\phi _1(z)=\frac{\sqrt{3}}{2}\,(z^2-1)\,,\,\, \phi _2(z)=\frac{\sqrt{5}}{2}\,(z^3-z)\,,$$

$$\phi _3(z)=\frac{\sqrt{7}}{8}\,(5z^4-6z^2+1)\,,\,\, \phi _4(z)=\frac{3}{8}\,(7z^5-10z^3+3z)\,.$$

図46: ${\phi _n(z)\,\,(n=1}$〜${4)}$

(35)を(34)に代入し、ガラーキン法を行う。(両辺に$\phi _{n'}(z)\,\,(n'=1$〜$N)$を掛けて、$-1$〜$1$で積分する)

$$\frac{\partial }{\partial t}\sum_{n=1}^N\hat{\omega }_n(t)\,\phi _n(z) = \frac{\partial ^2}{\partial z^2}\sum _{n=1}^N\hat{\omega }_n(t)\,\phi _n(z) \,,$$

$$\sum_{n=1}^N\frac{d\,\hat{\omega }_n}{dt}\,\langle \phi _n,\,\phi _{n'}\rangle = \sum _{n=1}^N\hat{\omega }_n\left\langle \frac{d^2\phi _n}{dz^2},... ...ngle \qquad \left(\,\langle a,\,b\rangle =\frac{1}{2}\int_{-1}^1ab\,dz\,\right)$$

$$= -\sum _{n=1}^N\hat{\omega }_n\left\langle \frac{d\phi _n}{dz},\,\frac{d\phi _{n'}}{dz}\right\rangle$$

$$= -\sum _{n=1}^N\hat{\omega }_n\left\langle P_n,\,P_{n'}\right\rangle$$

$$= -\,\hat{\omega }_{n'} \qquad (\,\raisebox{1.ex}{.}\raisebox{.1ex}{.}\raisebox{1.ex}{.}\,\langle P_n,\,P_{n'}\rangle =\delta _{nn'})$$

$A_{nn'}=\langle \phi _n,\,\phi _{n'}\rangle$とすると

$$\sum _{n=1}^NA_{nn'}\,\frac{d\,\hat{\omega }_n}{dt}=-\,\hat{\omega }_{n'} \,.\qquad (n'=1\, \,N)$$ (37)

この$${\frac{d\,\hat{\omega }_n}{dt}}\,\, (n=1\,$$〜$\,N)$に関する連立一次方程式を解けば良い。