A.3 ルジャンドル多項式

2に正規化されたルジャンドル陪関数は次で定義される。$(n\geq \vert m\vert)$

$$P_n^m(\mu )=\sqrt{(2n+1)\frac{(n-\vert m\vert)!}{(n+\vert m\vert)... ... m\vert/2}\,\frac{d^{n+\vert m\vert}}{d\mu ^{n+\vert m\vert}}\,(\mu ^2-1)^n \,.$$ (31)

$m$が共通のルジャンドル陪関数では、次の直行関係が成立する。

$$\frac{1}{2}\int_{-1}^1P_n^m(\mu )\,P_{n'}^m(\mu )\,d\mu =\delta _{nn'} \,.$$ (32)

以下では、$m=0$としたルジャンドル多項式を用いる。

$$P_n(\mu )=P_n^0(\mu )=\sqrt{2n+1}\,\frac{1}{2^n\,n!}\,\frac{d^n}{d\mu ^n}\,(\mu ^2-1)^n \,.$$ (33)

参考までに、具体的な関数の形は以下のようになる。

$$P_0(\mu )=\,1,\,\,P_1(\mu )=\sqrt{3}\,\mu \,,\,\,P_2(\mu )=\frac{\sqrt{5}}{2}\,(3\mu ^2-1) \,,$$

$$P_3(\mu )=\frac{\sqrt{7}}{2}\,(5\mu ^3-3\mu )\,,\,\,P_4(\mu )=\frac{3}{8}\,(35\mu ^4-30\mu ^2+3) \,.$$

図45: ルジャンドル多項式 ${P_n(\mu )\,\,(n=0}$〜${4)}$