A.3.3 両端での$z$微分が0であるような変数の展開

$$\quad \frac{\partial v}{\partial z}=0 \quad z=\pm 1$$

この場合、$\protect{\displaystyle{\frac{\partial v}{\partial z}}}$そのものを$\phi _n$で展開する。

$$\frac{\partial v}{\partial z}=\sum_{n=1}^N\hat{v'}_n\,\phi _n(z) \,.$$ (38)

これと順圧(鉛直平均)成分$\,v_0=\langle v\rangle\,$についてそれぞれ計算する。$\left(\langle \,\,\,\,\rangle =\displaystyle{\frac{1}{2}\int_{-1}^1\,dz}\right)$
$v$そのものの値が必要な時は、(38)より以下のように復元する。

$$v=\sum _{n=1}^N\hat{v'}_n\int \!\phi _n(z)\,dz\,+\,v_0 \,.$$

ただし不定積分$${\int \!\phi _n(z)\,dz\,}$$は、その鉛直平均が0である必要がある。(36)より、

$$\int \!\phi _n(z)\,dz = \frac{P_{n+2}}{(2n+3)\sqrt{(2n+1)(2n+5)}}-\frac{2P_n}{(2n-1)(2n+3)}+\frac{P_{n-2}}{(2n-1)\sqrt{(2n-3)(2n+1)}}+d_n$$

$$= a_nP_{n+2}+b_nP_n+c_nP_{n-2}+d_n\qquad (n\geq 2\,,\,\,d_n: )$$ (39)

鉛直平均が0となるように積分定数を定める。$\langle P_n\rangle =0\,\,(n\geq 1)\,,\,P_0=1$に注意すると、

i)$n\geq 3$のとき

$a_n\langle P_{n+2}\rangle +b_n\langle P_n\rangle +c_n\langle P_{n-2}\rangle +d_n=0$より$d_n=0\,.$

ii)$n=2$のとき

$a_2\langle P_4\rangle +b_2\langle P_2\rangle +c_2+d_2=0\,$より$c_2+d_2=0\,,\,\displaystyle{\int \!\phi _2(z)\,dz=a_2P_4+b_2P_2}\,.$

iii)$n=1$のとき

$$\phi _1(z) = \frac{P_2}{\sqrt{15}}-\frac{P_0}{\s... ...7em}(\,\raisebox{1.ex}{.}\raisebox{.1ex}{.}\raisebox{1.ex}{.}\,(\ref{eq:b5})\,)$$

$$\int \!\phi _1(z)\,dz = \frac{1}{\sqrt{15}}\left(\frac{P_3}{\sqrt{35}}-\frac{P_1}{\sqrt{15}}\right)-\frac{1}{\sqrt{3}}z+d_1\qquad (\,d_1: )$$

$$= \frac{P_3}{5\sqrt{21}}-\frac{2}{5}P_1+d_1 \hspace{8.8em}(\,\raisebox{1.ex}{.}\raisebox{.1ex}{.}\raisebox{1.ex}{.}\,P_1=\sqrt{3}z\,)$$

$${\frac{\langle P_3\rangle }{5\sqrt{21}}-\frac{2}{5}\langle P_1\rangle +d_1=0\,}$$より$${d_1=0\,,\,\int \!\phi _1(z)\,dz=\frac{P_3}{5\sqrt{21}}-\frac{2}{5}P_1\,.}$$