A.3.4 ガウス-ルジャンドル積分公式

格子点上の値からスペクトル値に正変換する際には、ガウス-ルジャンドル積分公式を用いて計算する。

$f(\mu )$が$2n-1$次以下の多項式のとき、

$$\frac{1}{2}\int_{-1}^1f(\mu )\,d\mu =\sum_{k=1}^nw_k\,f(\mu _k)$$

ここで、$\mu _k\,(k=1,\,2,\,\cdots \,n)\,$は$P_n(\mu )$の$n$個の零点(ガウスノード)で、$-1<\mu _1<\mu _2<\cdots <\mu _n<1$である。$w_k$は次のように書かれ、ガウス重みと呼ばれる。

$$w_k=\int_{-1}^1\frac{P_n(\mu )}{(\mu -\mu _k)P_n'(\mu _k)}d\mu =\frac{2\sqrt{(2n-1)(2n+1)}}{nP_{n-1}(\mu _k)P_n'(\mu _k)}$$

※非周期の場合、積分のための分点は非等間隔であり、境界に密集する。