A.3.5 基底の変換

本研究では連立方程式を解かずに、行列 $A_{mn}$ (実際には $\hat{A},\,\tilde{A}$ それぞれ)の基底を変換して(37)を解く。(以下の表記では、アインシュタインの規約を用いる。)

$\displaystyle \langle \phi _m,\,\phi _n\rangle =A_{mn}$

(40)

$A_{mn}$ の固有ベクトルを $\protect{\mbox{\boldmath {$v$}}_p}$ 、固有値を $\lambda _p$ とすると、(

～

)

$\displaystyle A_{mn}\,v_{np}=\lambda _p\,v_{mp}$

(41)

ここで、基底を $\phi$ から次のような $\eta$ に変換する。

$\displaystyle \eta _p\equiv \phi _m\,v_{mp}$

すると、

$\displaystyle \langle \eta _p,\,\eta _q\rangle$	$\displaystyle =$	$\displaystyle v_{mp}\,v_{nq}\,\langle \phi _m,\,\phi _n\rangle$
	$\displaystyle =$	$% latex2html id marker 10872 $\displaystyle A_{mn}\,v_{mp}\,v_{nq} \hspace{3em}(\,\raisebox{1.ex}{.}\raisebox{.1ex}{.}\raisebox{1.ex}{.}\,(\ref{eq:b7})\,)$$
	$\displaystyle =$	$% latex2html id marker 10876 $\displaystyle v_{mp}\,\lambda _p\,v_{mq} \hspace{3.8em}(\,\raisebox{1.ex}{.}\raisebox{.1ex}{.}\raisebox{1.ex}{.}\,(\ref{eq:b8})\,)$$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle \lambda _p\,\delta _{pq} \hspace{6em}(\,\raisebox{1.ex}{.}\raisebox{.1ex}{.}\raisebox{1.ex}{.}\,$ $\displaystyle \mbox{\boldmath {$v$}}$ の正規直交性 $\displaystyle )$

が得られる。

$\displaystyle \displaystyle{\eta _p\equiv \phi _m\,\frac{v_{mp}}{\sqrt{\lambda _p}}}$

(42)

と定義し直しておけば、 $\langle \eta _p,\,\eta _q\rangle =\delta _{pq}$ となる。したがって、各

について格子点上の $\eta _p(z)$ の値を計算し、最初から $\eta$ で展開しておけば、毎回LAPACKで連立一次方程式を解く必要が無くなる。

またこのとき、鉛直2階微分について

$\displaystyle \left\langle \frac{d^2}{dz^2}\eta _p,\,\eta _q\right\rangle$	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\left\langle \frac{d}{dz}\eta _p,\,\frac{d}{dz}\eta _q\right\rangle$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\left\langle \frac{v_{mp}}{\sqrt{\lambda _p}}\,\frac{d\phi _m}{dz},\,\frac{v_{nq}}{\sqrt{\lambda _q}}\frac{d\phi _n}{dz}\right\rangle$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\frac{1}{\sqrt{\lambda _p\,\lambda _q}}\,v_{mp}\,v_{mq}$
	$\displaystyle =$	$\displaystyle -\frac{1}{\lambda _p}\,\delta _{pq}$	(43)

よって、鉛直2階微分をスペクトルのまま扱える。例えば、

$\displaystyle \zeta =\sum_{l=-L}^L\,\sum_{p=1}^N\hat{\zeta }_{lp}\,e^{ilx}\,\et... ...\,,\quad \psi =\sum_{l=-L}^L\,\sum_{p=1}^N\hat{\psi }_{lp}\,e^{ilx}\,\eta _p(z)$

のような

平面での渦度・流線関数について、次のようになる。

$\displaystyle \zeta =\nabla ^2\psi \quad \Rightarrow \quad \hat{\zeta }_{lp}=\left(-l^2-\frac{1}{\lambda _p}\right)\,\hat{\psi }_{lp}$

SAITO Naoaki
2009-07-09