A.3.5 基底の変換

本研究では連立方程式を解かずに、行列$A_{mn}$(実際には$\hat{A},\,\tilde{A}$それぞれ)の基底を変換して(37)を解く。(以下の表記では、アインシュタインの規約を用いる。)

$$\langle \phi _m,\,\phi _n\rangle =A_{mn}$$ (40)

$A_{mn}$の固有ベクトルを$\protect{\mbox{\boldmath {$v$}}_p}$、固有値を$\lambda _p$とすると、($p=1$〜$N$)

$$A_{mn}\,v_{np}=\lambda _p\,v_{mp}$$ (41)

ここで、基底を$\phi$から次のような$\eta$に変換する。

$$\eta _p\equiv \phi _m\,v_{mp}$$

すると、

$$\langle \eta _p,\,\eta _q\rangle = v_{mp}\,v_{nq}\,\langle \phi _m,\,\phi _n\rangle$$

$$= A_{mn}\,v_{mp}\,v_{nq} \hspace{3em}(\,\raisebox{1.ex}{.}\raisebox{.1ex}{.}\raisebox{1.ex}{.}\,(\ref{eq:b7})\,)$$

$$= v_{mp}\,\lambda _p\,v_{mq} \hspace{3.8em}(\,\raisebox{1.ex}{.}\raisebox{.1ex}{.}\raisebox{1.ex}{.}\,(\ref{eq:b8})\,)$$

$$= \lambda _p\,\delta _{pq} \hspace{6em}(\,\raisebox{1.ex}{.}\raisebox{.1ex}{.}\raisebox{1.ex}{.}\, \mbox{\boldmath {$v$}} )$$

が得られる。

$$\displaystyle{\eta _p\equiv \phi _m\,\frac{v_{mp}}{\sqrt{\lambda _p}}}$$ (42)

と定義し直しておけば、$\langle \eta _p,\,\eta _q\rangle =\delta _{pq}$となる。したがって、各$p$について格子点上の$\eta _p(z)$の値を計算し、最初から$\eta$で展開しておけば、毎回LAPACKで連立一次方程式を解く必要が無くなる。

またこのとき、鉛直2階微分について

$$\left\langle \frac{d^2}{dz^2}\eta _p,\,\eta _q\right\rangle = -\left\langle \frac{d}{dz}\eta _p,\,\frac{d}{dz}\eta _q\right\rangle$$

$$= -\left\langle \frac{v_{mp}}{\sqrt{\lambda _p}}\,\frac{d\phi _m}{dz},\,\frac{v_{nq}}{\sqrt{\lambda _q}}\frac{d\phi _n}{dz}\right\rangle$$

$$= -\frac{1}{\sqrt{\lambda _p\,\lambda _q}}\,v_{mp}\,v_{mq}$$

$$= -\frac{1}{\lambda _p}\,\delta _{pq}$$ (43)

よって、鉛直2階微分をスペクトルのまま扱える。例えば、

$$\zeta =\sum_{l=-L}^L\,\sum_{p=1}^N\hat{\zeta }_{lp}\,e^{ilx}\,\et... ...\,,\quad \psi =\sum_{l=-L}^L\,\sum_{p=1}^N\hat{\psi }_{lp}\,e^{ilx}\,\eta _p(z)$$

のような$x$-$z$平面での渦度・流線関数について、次のようになる。

$$\zeta =\nabla ^2\psi \quad \Rightarrow \quad \hat{\zeta }_{lp}=\left(-l^2-\frac{1}{\lambda _p}\right)\,\hat{\psi }_{lp}$$