A.3.2 行列$\,(A_{nn'})\,$の成分

漸化式(36)を用いると

$$\langle \phi _n,\,\phi _{n}\rangle = \frac{2}{(2n-1)(2n+3)} \,,$$

$$\langle \phi _{n+1},\,\phi _{n-1}\rangle = -\,\frac{1}{(2n+1)\sqrt{(2n-1)(2n+3)}} \,.$$

その他の成分は全て0となる。

ここで、$\phi _n$を対称(偶)モードと反対称(奇)モードに分けて考える。

$$: \tilde{\phi }_m=\phi _{2m-1} : \hat{\phi }_m=\phi _{2m}\qquad (m\geq 1)$$

すると、

$$\, : \,\left\{ \begin{array}{l} \langle \tilde{\phi }_m,\,\tilde{\... ...yle{\frac{1}{(4m+1)\sqrt{(4m-1)(4m+3)}}} \,. \end{array}\right.$$

$$\, : \,\left\{ \begin{array}{l} \langle \hat{\phi }_m,\,\hat{\phi ... ...yle{\frac{1}{(4m+3)\sqrt{(4m+1)(4m+5)}}} \,. \end{array}\right.$$

$\tilde{A}_{mm'}=\langle \tilde{\phi }_m,\,\tilde{\phi }_{m'}\rangle \,,\,\hat{A}_{mm'}=\langle \hat{\phi }_m,\,\hat{\phi }_{m'}\rangle$とすると、行列$(\tilde{A}_{mm'})\,,\,(\hat{A}_{mm'})$はそれぞれ3重対角行列となる。よって、(37)に対応する連立1次方程式をLAPACKで解くことができる。