付録B:線形化と関数展開

独立変数  ψ，θ が微小であるとして線形化し, 安定性解析を行なう.  ψ，θ を境界条件を見たす次のような関数系で展開する.

$$\psi = \sum_{n=1}^{\infty} \tilde{\psi}_n \sin n\pi z \exp{i(kx-\omega t)},$$ (5)

$$\theta = \sum_{n=0}^{\infty} \tilde{\theta}_n \cos n\pi z \exp{i(kx-\omega t)}.$$ (6)

線形化された(2)に ${\displaystyle \int_0^1 dz \cos m\pi z}$, (1)に ${\displaystyle \int_0^1 dz \sin m\pi z}$ をそれぞれ作用させると,  ωを固有値とする, $(\tilde{\psi}_n, \tilde{\theta}_n)$ に関する 無限次元の固有値問題の方程式が得られる.

$$\left( \begin{array} {cc} [i\omega K_n^2 - i k \eta - K_... ... \tilde{\psi}_n \ \tilde{\theta}_n \end{array}\right) = 0,$$ (7)

ここで <..|..> は $\sin n\pi z,\cos n\pi z$ の 内積を表しており, それぞれ ${\displaystyle <C_m\vert C_n\gt \equiv \int_0^1 \cos m\pi z\cos n\pi z}$, ${\displaystyle <C_m\vert S_n\gt \equiv \int_0^1 \cos m\pi z\sin n\pi z}$, ${\displaystyle <S_m\vert C_n\gt \equiv \int_0^1 \sin m\pi z\cos n\pi z}$, ${\displaystyle <S_m\vert S_n\gt \equiv \int_0^1 \sin m\pi z\sin n\pi z}$ である. $K_n^2 = k^2 + n\pi^2$ は n 次の鉛直モードに対する全波数 の 2 乗である.

さらに解析的に進めるために 以下では(7)を 鉛直波数 1 までで切断した系で考察することにする. この切断により, 固有値および表現される固有関数の構造は正しい解とは 定量的なずれが生じるであろうが, 定性的な性質はそのまま保持されていると期待する. (7)は,

$$\left( \begin{array} {cc} i\omega K^2 - i k \eta - K^4 ... ... \tilde{\psi}_1 \ \tilde{\theta}_0 \end{array}\right) = 0,$$ (8)

となる. ここで $K^2 \equiv K_1^2 = k^2 + \pi^2$ は 1 次の 鉛直モードに対する全波数である. この係数行列式から分散関係を定める式が得られる.

$$PK^2 \omega^2 + [-k \eta P + i(PK^2 + k^2) K^2]\omega + ( -ik^3\eta - k^2K^4 + 8k^2R/\pi^2 ) = 0.$$ (9)

中立曲線および臨界状態を求めるために,  ωを実数と 仮定する. (9)の虚数部より 中立モードの振動数が得られる. 

$$\omega = \frac{\eta k^3}{(PK^2+k^2)K^2}.$$ (10)

この式を(9)実数部に代入して, 中立曲線の式が得られる.

$$R = \frac{\pi^2}{8} \left[K^4 + \frac{P^2\eta^2k^2}{(PK^2 ... ...ight)^2 \frac{k^2}{(k^2 + \frac{P\pi^2}{P+1})^2} \right].$$ (11)

付録B:線形化と関数展開