方程式と境界条件

支配方程式は 2 次元ブシネスク流体の方程式系に境界面の地形性β効果を加えたものである(Busse 1986).

		$\displaystyle \Dinv{P}\DP{}{t} \Dlapla_2 \psi + \Dinv{P}J(\psi,\Dlapla_2\psi) - \eta(z) \DP{\psi}{x} = R \DP{\theta}{x} + \Dlapla_2 \Dlapla_2 \psi,$	(1)
		$\displaystyle \DP{\theta}{t} + J(\psi,\theta) - \DP{\psi}{x} = \Dlapla_2\theta.$	(2)

ただし, $\psi$ は流線関数, $\theta$ は基本場に対する温度擾乱である. P はプランドル数であり, 動粘性率と熱拡散率の比を表す. R は成層不安定度を表すレイリー数である. ηは地形性β効果をあらわすパラメターである. J(A,B) はヤコビアンであり, 渦度と熱の移流を表している. 長さは流体層の厚さで, 時間は熱拡散時間で, 温度は上下面の温度差で無次元化している.

地形性β効果を表す項は球の形状を想定して次のような形を用いる (付録: 支配方程式詳細).

$\begin{displaymath} \eta(z) = \frac{2s(z)}{E[r_o^2 -s(z)^2]}, \quad s(z) = s_0 + (s_1-s_0)z \end{displaymath}$

(3)

ただし s₀, s₁ は円筒モデルで扱う領域の回転軸からの距離, r_o は外球の半径を表している. これまでの回転球殻対流の研究では内外半径比 0.4 程度の状況がよく考察されているので, 我々の計算においては r₀=1, s₀=0.4, s₁=0.9 なる値を用いた.

熱的境界条件は, 流体層の上面 (z=1), 下面 (z=0) で温度固定条件を与える.

$\begin{displaymath} \theta = 0, \quad \mbox{at} \ z=0,1. \end{displaymath}$

(4)

運動学的,力学的境界条件は, 境界を突き抜けない条件と Free-slip 条件を与える.

$\begin{displaymath} \psi = \DP[2]{\psi}{z}=0, \quad \mbox{at} \quad z=0,1. \end{displaymath}$

(5)

水平方向には周期的条件を与える.