2 非軸対称振動[$m\ne 0$]

速度ポテンシャル$\varphi$と表面変形量$\zeta$をルジャンドル陪関数で$N$項まで 展開して計算する． 基本場の対称性から周回方向波数$m$についてはモード間の混合は起きない． また実験の映像から，液滴の縁が動かない事が確認できたので， 縁の固定を保証するために$\zeta$に$\mu$( $=\cos\theta$)をかけてこれを保証した．

$$\varphi = \sum^{N}_{n=1}A_{n}r^{m+2n-2} P^{m}_{m+2n-2}(\mu){\rm e}^{{\rm i}(m \phi-\omega t)},$$ (7)

$$\zeta = \sum^{N}_{n=1}B_{n}\mu P^{m}_{m+2n-2}(\mu){\rm e}^{{\rm i}(m \phi-\omega t)}.$$ (8)

上式を基礎方程式(5)，(6)に代入する．

$$-{\rm i}\omega \sum_{n=1}^{N} A_n P^m_{m+2n-2}(\mu) = \sum_{n=1}^N \left\{ \left[ m+2n-(m+2n-2)^2\right]\mu P^m_{m+2n-2}(\mu) \right.$$

$$\qquad \left. -2(2n-1)P^m_{m+2n-1}(\mu)\right\} B_n,$$ (9)

$$-{\rm i}\omega \sum_{n=1}^{N} B_n P^m_{m+2n-2}(\mu) = \sum_{n=1}^N \left(m+2n-2\right)A_n P^m_{m+2n-2}(\mu).$$ (10)

両辺に $P^{m}_{m+2l-2}(\mu)$ をかけて，$\mu$について0から1まで積分する．

ルジャンドル陪関数の直交性

$$\int_{0}^{1}P^{m}_{m+2l-2}(\mu)P^{m}_{m+2n-2}(\mu)d\mu =\left\{ \... ...{cr} 0 & l \ne n\\ \frac{(2m+2l-2)!}{(2l-2)!(2m+4l-3)}& l=n \end{array} \right.$$ (11)

を用いると対角化する事ができ，(9)，(10)から$A_l$を消去すると，

$$- \mathbf{\omega}^{2}\sum_{n=1}^N(\mathbf{A}_{ln})B_{n} =\sum_{n=1}^N(\mathbf{B}_{ln})B_{n}$$ (12)

の固有値問題に帰着して固有角振動数$\omega$を計算する事ができる． ただしここで

$$\mathbf{A}_{ln} = \frac{1}{m+2l-2}PPC_{ln}$$ (13)

$$\mathbf{B}_{ln} = \left\{ \left[m+2n-(m+2n-2)^{2}\right] PP_{ln}-2(2n-1)PP_{ln}\right\}$$ (14)

$$PPC_{ln} = \int_{0}^{1}P_{2n}(\mu)P_{2l}(\mu)\mu d(\mu)$$

$$= \frac{2n+1}{4n+1}PP_{mn+1}+\frac{2n}{4n+1}PP_{mn}$$ (15)

$$PP_{ln} = \int_{0}^{1}P_{2l}(\mu)P_{2n-1}(\mu)d(\mu)$$ (16)

と置いた．