3 液滴の固有振動

全球の液滴振動の固有振動数$\omega$は， 速度ポテンシャル$\varphi$をルジャンドル陪関数$P_n^m$で

$$\varphi = A {\rm e}^{-{\rm i}\omega t} r^n P_n^m(\mu)$$ (3)

と表して($m$, $n$は次数,また $\mu=\cos\theta$と置いた)

$$\omega_{n}^2=\frac{\sigma}{\rho a^3}{n(n-1)(n+2)}$$ (4)

と解析的に求められている[1]． ここで$\sigma$は表面張力，$\rho$は密度，$a$は液滴の半径である． この振動数$\omega$は次数$m$に依存しないことが知られている． 液滴がステージ上での静止形状が半球で， 接触線が自由に移動できる場合には， $(m+n)$が偶数の場合の結果をそのまま適用できる． しかし青山らの実験[11] では接触線が移動しない(縁が固定されている)ことが確かめられた． 液滴内の速度場を速度ポテンシャル$\varphi$で表す． 以下に示す様に，表面における表面張力の影響と運動学的な条件を 線形化して固有値問題に帰着する． 次に，この問題をガラーキン法で離散化し，線形代数サブルーチン IMSLを用いて数値的に固有値と固有ベクトル(固有振動モード) を計算する．