3 軸対称固有振動[$m=0$]

軸対称振動の場合，ルジャンドル多項式$P_n$で展開した後， 同様にガラーキン法を用いて固有値問題に帰着した． 但し体積が保存するよう$\tau$法を用いて次のように補正している． $\varphi$と$\zeta$は，

$$\varphi = \sum_{n=1}^N A_n r^{2n} P_{2n}(\mu){\rm e}^{-{\rm i}\omega t}$$ (17)

$$\zeta = \left[ \sum_{n=1}^{N}B_{n} \mu P_{2n}(\mu) + B_{0}\mu \right] {\rm e}^{-{\rm i}\omega t}.$$ (18)

式(18)では液滴体積の変化が無いように微小体積変化

$$\delta V= 2 \pi \epsilon\left[ \sum_{n=1}^{N}\int_{0}^{1}\mu P_{2n}(\mu)d\mu B_{n} +B_{0}\int_{0}^{1}\mu d\mu\right]$$ (19)

が0となるような補正項

$$B_{0} = \sum_{n=1}^{N} \frac{(-1)^{n}}{2n(n+1)}\frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}B_{n}$$ (20)

を導入する．

非軸対称振動と同様に(17)，(18)を基礎方程式 (5)，(6)に代入すると

$$-{\rm i}\omega \sum_{n=1}^{N} A_n P_{2n}(\mu) = \sum_{n=1}^N \left\{ (-6n-4n^2)\mu P_{2n}(\mu) +4nP_{2n-1}(\mu)\right\} B_n$$ (21)

$$-{\rm i}\omega\left\{ \sum_{n=1}^{N} B_n\mu P_{2n}(\mu) +B_0\mu \right\} = \sum_{n=1}^N 2n A_n P_{2n}(\mu)$$ (22)

両辺に $P_{2m}(\mu)$をかけて，0から1まで$\mu$について積分する．

$$\int_{0}^{1}P_{2n}(\mu)P_{2l}(\mu) d\mu = \left\{ \begin{array}{cr} 0 & l\ne n \\ \frac{1}{4n+1} & l=n \end{array} \right.$$ (23)

の直交性を用いて対角化し，(21)と(22)から $A_l$を消去する． これを用いて

$$- \omega^{2} \sum_{n=1}^{N}(\mathbf{A}_{ln})B_{n} =\sum_{n=1}^{N} (\mathbf{B}_{ln})B_{n}$$ (24)

の固有値問題に帰着し$\omega$を計算する事ができる． ただし，

$$\mathbf{A}_{ln} = \frac{1}{2l}\left[\frac{2n+1}{4n+1}PP_{ln+1} +\frac{2n}{4n+1}PP_{... ...rac{(2l-3)!!}{(2l-2)!!}\frac{(-1)^{n}}{2n(n+1)}\frac{(2n-3)!!}{(2n-2)!!}\right]$$ (25)

$$\mathbf{B}_{ln} = -(4n^{2}+6n)\left[\frac{2n+1}{4n+1}PP_{ln+1} +\frac{2n}{4n+1}PP_{ln}\right]+4nPP_{ln}$$ (26)

$$PP_{ln} = \int_{0}^{1}P_{2l}(\mu)P_{2n-1}(\mu)d\mu$$ (27)

である．