1 流体粒子の軌跡の計算

液滴内の速度成分は，速度ポテンシャル$\varphi$を用いて

$$u_{r} = \epsilon\frac{\partial \varphi}{\partial r},$$ (29)

$$u_{\theta} = \epsilon\frac{1}{r}\frac{\partial \varphi}{\partial \theta},$$ (30)

$$u_{\phi} = \epsilon\frac{1}{r\sin\theta}\frac{\partial \varphi}{\partial \phi},$$ (31)

と計算する．ここで $(u_r, u_{\theta}, u_{\phi})$は球座標系で表した 速度の各成分である．

式(7)から， 非軸対称モード$m$($\ne 0$)を加振した場合の 速度ポテンシャル$\varphi_m$を

$$\varphi_m^{(n)} = \sum_{l=1}^{N}A^m_{l}r^{m+2l-2}P^{m}_{m+2l-2}(\mu)$$

$$\qquad \times \left\{ -A^{m}\sin \left( m \phi - \omega t \right)... ...t( m \phi -\omega t \right) -D^{m}\cos \left( m \phi +\omega t \right) \right\}$$ (32)

とする．ここで$\omega$は固有振動数， $A^m_l$は固有モード$(m,n)$に対応する固有ベクトルである． また $A^m$, $B^m$, $C^m$, $D^m$は それぞれ $\mp\sin(m\phi\pm \omega t)$, $\pm\cos(m\phi\pm\omega t)$の振幅を表わす．

軸対称モード($m=0$)でも同様に式(17)より

$$\varphi_0^{(n)} = \sum_{l=1}^{N} A^0_{l} r^{2l} P_{2l}(\cos\theta... ...^{0}\sin \left( - \omega t \right) +C^{0}\cos \left( - \omega t \right) \right)$$ (33)

と与える． ここで$A^0_l$は$(0,n)$モードの固有ベクトルであり， $A^0$と$C^0$は振幅を表わす．

2つの固有モードを励起する場合， 固有振動数(表2)の 比 $\omega_1:\omega_2$がほぼ整数比($1:1$)となる組合せ ($(m_1,n_1)$， $(m_2,n_2)$とする)が同時に励起されたと考える． 速度ポテンシャルを

$$\varphi = \varphi_{m_1}+\varphi_{m_2}$$ (34)

とし，式(29),(30),(31)で流体粒子の軌跡を計算する． 粒子の初期配置は $r=0.8$, $\theta=$2, 24, 46, 68, 90 [${^\circ}$]， $\phi$=0, 60, 120, 180, 240, 300[${}^\circ$]を組み合わせた合計36点とした．