対流セルの水平スケール (2) -対流速度の見積もり

対流セルの水平スケール (2) -対流速度の見積もり

このシナリオを確かめるために, 先の境界層理論をもとにして理論的に水平速度を見積もり, レイリー数に対して u_h と u,u' の大小関係を調べてみる.
鉛直対流としての水平速度は境界層理論により与えられる. プレートの外側で形成される流れの x 方向の速度の大きさ u は,

$u = \left( \Dinv{2 \sqrt{\pi}}\right)^{\frac{2}{3}}\left[ ...{a^{7}}{(1+a^{4})^{2}} \right]^{\Dinv{3}} Ra^{\frac{2}{3}},$ (10)

プレートの下での水平速度 u' を見積もるには, (10)において (8) の Ra' を用いればよい. プレートがない場合および全表面をプレート覆った場合の数値計算の結果と比較した結果, 実際に (10) を用いて流速を見積もる際には $\pi$ で割った値を用いることにする.
プレートによって形成される水平方向の温度差が引き起こす流れ u_h は定常状態の運動方程式を満たしているとする.

$0 = Ra \DP{T}{x}+ \Dlapla \Dlapla \psi.$ (11)

(11)を z で微分して $u=-\DP{\psi}{z}$ を用いると

$\Dlapla \Dlapla u_{h} = Ra \DP{}{z}\DP{T}{x}.$ (12)

温度差 $\Delta T$ は $\Delta T = T_{cp}-T_{c}$ とし, (5), (9) を用いてレイリー数の関数としてあらわす. 対流セルの鉛直方向のスケールを L_z=1, 水平方向のスケールを L_x とすると,

$u_h =\left(\Dinv{L_x^2}+1 \right)^{-2}\frac{\Delta T(Ra)}{L_{x}} \cdot Ra.$ (13)

この式を用いて数値的に値を求めるときには, 温度場と流線関数が $\sin(\pi x/L_x)\sin(\pi z)$ の形で表されることを考慮して $\pi^2$ で割った値を用いる.

対流セルの水平スケール (2) -対流速度の見積もり