4.1.1 摂動方程式

式(4),(8)の各変数を基本場($\bar{\,}\,$)と摂動($\,'\,$)に分け、両式を線形化すると次の摂動方程式が得られる。

$$\frac{\partial \mbox{\boldmath$\omega $}'}{\partial t}=\nabla \ti... ...z}+Ra\,(\nabla \times \mbox{\boldmath$b$}')+\nabla ^2\mbox{\boldmath$\omega $}'$$ (10)

$$\frac{\partial b'}{\partial t}+\overline{u}\frac{\partial b'}{\pa... ...rtial b'}{\partial z}+w'\frac{\partial \overline{b}}{\partial z}=w'+\nabla ^2b'$$ (11)

ただし、基本場は定常かつ$y$方向に一様なので、基本場成分の時間微分・$y$微分は0となる。

次に、摂動が$y$方向に周期的であると仮定すると以下のように書ける。

$$\omega _1'={\rm Re}\,\{\,\hat{\omega }_1(x,z)\,e^{i(r_ymy-\sigma t)}\,\} u'={\rm Re}\,\{\,\hat{u}(x,z)\,e^{i(r_ymy-\sigma t)}\,\}$$

$$\omega _2'={\rm Re}\,\{\,\hat{\omega }_2(x,z)\,e^{i(r_ymy-\sigma t)}\,\} v'={\rm Re}\,\{\,\hat{v}(x,z)\,e^{i(r_ymy-\sigma t)}\,\}$$

$$\omega _3'={\rm Re}\,\{\,\hat{\omega }_3(x,z)\,e^{i(r_ymy-\sigma t)}\,\} w'={\rm Re}\,\{\,\hat{w}(x,z)\,e^{i(r_ymy-\sigma t)}\,\}$$

$$b'={\rm Re}\,\{\,\hat{b}(x,z)\,e^{i(r_ymy-\sigma t)}\,\}\,\,\,\,$$ (12)

ただし、$\hat{\omega }_1$,$\hat{\omega }_2$,$\hat{\omega }_3$,$\hat{b}$,$\hat{u}$,$\hat{v}$,$\hat{w}$,$\sigma$は全て複素数とする。$m$は$y$方向の波数、$r_y=2\pi /L_y$である。
    以下の関係式を用いると、$\hat{\omega }_1$,$\hat{\omega }_3$から$\hat{\omega }_2$,$\hat{u}$,$\hat{v}$,$\hat{w}$が求まるので、$\hat{\omega }_1$,$\hat{\omega }_3$,$\hat{b}$の3つを独立な変数とする。

$$\nabla \cdot \mbox{\boldmath$\omega $} '=0 \Rightarrow \frac{\partial \hat{\omega }_1}{\partial x}+ir_ym\,\hat{\omega }_2+\frac{\partial \hat{\omega }_3}{\partial z}=0$$ (13)

$$-\nabla ^2 \mbox{\boldmath$u$} '=\nabla \times \mbox{\boldmath$\omega $} ' \Rightarrow \left\{ \begin{array}{l} -\left(\frac{\displaystyle{\partial ... ...laystyle{\partial x}}-ir_ym\,\hat{\omega }_1 \end{array}\right.$$ (14)

以上より、式(10)の$x$,$z$成分と式(11)を計算すると次のようになる。

$$\sigma \,\hat{\omega }_1\,=\,\left\{r_ym\overline{v}-i\left(r_y^2... ...{u}}{\partial z}+\overline{u}\frac{\partial }{\partial z}\right)\hat{\omega }_3$$

$$\quad \quad +\left\{r_ym\overline{\zeta }+i\frac{\partial ^2\over... ...e{v}}{\partial z}\,\frac{\partial }{\partial z}\right)\hat{w}-r_ym\,Ra\,\hat{b}$$ (15)

$$\quad$$

$$\sigma \,\hat{\omega }_3\,=\,\left\{r_ym\overline{v}-i\left(r_y^2... ...{w}}{\partial x}+\overline{w}\frac{\partial }{\partial x}\right)\hat{\omega }_1$$

$$\quad \quad +\left\{r_ym\overline{\zeta }-i\frac{\partial ^2\over... ...{\partial \overline{v}}{\partial x}\,\frac{\partial }{\partial x}\right)\hat{u}$$ (16)

$$\quad$$

$$\,\sigma \,\hat{b}\,=\,\left(r_ym\overline{v}-ir_y^2m^2-i\overlin... ...ial x}\,\hat{u}+i\left(1-\frac{\partial \overline{b}}{\partial z}\right)\hat{w}$$ (17)

式(15)〜(17)に対して固有値解析を行う。計算方法の詳細はAppendixで述べる。