5.2 固有モードの二次効果

そこで今度は全ての二次効果を考慮に入れる。
変数を次のように基本場($y$方向に一様)・擾乱成分・擾乱の二次オーダーの帯状成分に分ける。

$$\mbox{\boldmath {$\omega $}} = \mbox{\boldmath {$\omega $}} _B+ \mbox{\boldmath {$\omega $}} '+\overline{\mbox{\boldmath {$\omega $}}}^{\,(2)}$$

$$\mbox{\boldmath {$u$}} = \mbox{\boldmath {$u$}} _B+ \mbox{\boldmath {$u$}} '+\overline{\mbox{\boldmath {$u$}}}^{\,(2)}$$

$$\mbox{\boldmath {$b$}} = \mbox{\boldmath {$b$}} '+\overline{\mbox{\boldmath {$b$}}}^{\,(2)}$$

擾乱成分は摂動方程式(10),(11)に従い時間発展する。線形安定性解析で求まる発達率を$\sigma$と書くと

$$\mbox{\boldmath {$\omega $}} ',\, \mbox{\boldmath {$u$}} ',\, \mbox{\boldmath {$b$}} '\propto e^{\,\sigma t}$$

擾乱の二次オーダーの帯状成分に関する式は、式(2),(7)より次のようになる。

$$\frac{\partial \,\overline{\mbox{\boldmath {$\omega $}}}^{\,(2)}}{\partial t} = \overline{\nabla \times (\mbox{\boldmath {$u$}}'\times \mbox{\bol... ...ine{\mbox{\boldmath {$u$}}}^{\,(2)}\times \mbox{\boldmath {$\omega $}}_B\right)$$

$$\hspace{1em}+\,\nabla \times \left(\overline{\mbox{\boldmath {$u$... ...b$}}}^{\,(2)}\right)+\nabla ^2\,\overline{\mbox{\boldmath {$\omega $}}}^{\,(2)}$$ (17)

$$\frac{\partial \,\overline{b}^{\,(2)}}{\partial t} = -\,\overline{(\mbox{\boldmath {$u$}}'\cdot \nabla )\,b'}+\,\overline{w}^{\,(2)}+\nabla ^2\,\overline{b}^{\,(2)}$$ (18)

この$\protect{\overline{\mbox{\boldmath {$\omega $}}}^{\,(2)},\,\overline{b}^{\,(2)}}$に関する微分方程式を解く。$\protect{\overline{\mbox{\boldmath {$\omega $}}}^{\,(2)},\,\overline{b}^{\,(2)}}$をスペクトル法を用いて$x$-$z$面で離散化し、全スペクトル成分($\protect{\,\overline{\omega }_1^{\,(2)},\,\overline{\omega }_2^{\,(2)},\,\overline{b}^{\,(2)},\,\langle \overline{\omega }_3^{\,(2)}\rangle \,}$)をまとめてベクトル$\protect{\mbox{\boldmath {$X$}}}$と書くと、(17),(18)は次のようになる。

$$\frac{d{\mbox{\boldmath {$X$}}}}{dt}=A\mbox{\boldmath {$X$}}+\mbox{\boldmath {$F$}}$$ (19)

ここで$A$は係数行列、$\protect{\mbox{\boldmath {$F$}}}$は(17),(18)それぞれの右辺第1項(擾乱同士の相互作用の効果)であり、

$$\mbox{\boldmath {$F$}} = \mbox{\boldmath {$G$}} \,e^{\,2\sigma t}$$

と書ける($\protect{\mbox{\boldmath {$G$}}}$は空間構造を表すベクトル、発達率は擾乱の発達率の2倍になっていることに注意)。まず、(19)の特解を

$$\mbox{\boldmath {$X$}} = \mbox{\boldmath {$Y$}} \,e^{\,2\sigma t}$$ (20)

として(19)に代入すると、次が得られる。

$$(\,2\sigma I-A\,)\, \mbox{\boldmath {$Y$}} = \mbox{\boldmath {$G$}}$$ (21)

ここで$I$は単位行列である。これを$\protect{\mbox{\boldmath {$Y$}}}$について解けば特解(20)が求まる。(19)の一般解は

$$\mbox{\boldmath {$X$}} (t)= \mbox{\boldmath {$X$}} _0\,e^{\,At}+ \mbox{\boldmath {$Y$}} e^{\,2\sigma t}$$

$\protect{\mbox{\boldmath {$X$}}(0)=\mbox{\boldmath {$0$}}}$とすると$\protect{\mbox{\boldmath {$X$}}_0=-\mbox{\boldmath {$Y$}}}$となり、次の一般解が得られる。

$$\mbox{\boldmath {$X$}} (t)=(-\,e^{\,At}+e^{\,2\sigma t}I\,)\, \mbox{\boldmath {$Y$}}$$ (22)

上式中の$\protect{-\,e^{\,At}}$は減衰振動成分であり、時間が経過すると$\protect{e^{\,2\sigma t}I}$の項が卓越する。よって、特解$\protect{\mbox{\boldmath {$Y$}}}$の構造が、固有モードの二次効果による平均流加速の分布を決定する。

さて、平均流の加速を表す量は${\langle \overline {v}^{\,(2)}\rangle }$である。ここで、$\protect{\overline{\mbox{\boldmath {$\omega $}}}^{\,(2)}}$と$\protect{\overline{\mbox{\boldmath {$u$}}}^{\,(2)}}$の間には次の関係がある。

$$\overline{\omega }_1^{\,(2)} = -\frac{\partial \,\overline{v}^{\,(2)} }{\partial z}$$ (23)

$$\overline{\omega }_2^{\,(2)} = \frac{\partial \,\overline{u}^{\,(2)} }{\partial z}-\frac{\partial \,\overline{w}^{\,(2)} }{\partial x}$$ (24)

$$\langle \overline{\omega }_3^{\,(2)}\rangle = \frac{\partial \,\langle \overline{v}^{\,(2)}\rangle }{\partial x}$$ (25)

求めた特解の$\protect{\mbox{\boldmath {$Y$}}}$の$\protect{\langle \overline{\omega }_3^{\,(2)}\rangle }$成分から(25)を用いて計算した${\langle \overline {v}^{\,(2)}\rangle }$の$x$分布を図24に示す。$Ta=3\times 10^4$の場合は図21と図24(左)、$Ta=10^5$の場合は図22と図24(右)で、いずれも加速の分布が一致している。したがって、平均流の加速は、(17),(18)の右辺第1項以外、すなわち擾乱の二次オーダーの帯状成分に関する項からの寄与が大きいことが分かる。

図24: 固有モードの二次効果による${\langle \overline {v}^{\,(2)}\rangle }$の${x}$分布。(左: ${Ta=3\times 10^4}$、右: ${Ta=10^5}$)